12.5. Пошаговые алгоритмы в упругопластичности

Если известны начальные напряжения и деформации, то выведенные выше уравнения дают точную формулировку любой корректно поставленной краевой задачи, и неточности решения возникают только из-за последующей дискретизации этих уравнений. Такие неточности могут быть минимизированы при помощи реализации усовершенствованной схемы численного решения, подобной описанной в гл. 8.

Для наших целей мы будем аппроксимировать границы при помощи прямолинейных отрезков — для двумерных задач и при помощи треугольников или четырехугольников — для трехмерных задач. Внутренняя область, в которой в результате нагружения ожидается течение, разбивается затем на соответствующее число треугольных или четырехугольных ячеек — для двумерных задач и тетраэдров или параллелепипедов — для трехмерных задач. Хотя такая дискретизация похожа на применяемую в методе конечных элементов, здесь ячейки используются лишь для вычисления различных объемных интегралов посредством конечных сумм. Поэтому формирование дискретизированной системы уравнений, в сущности, такое же, как описано в гл. 3—8. Так, например, уравнение (12.43) можно записать в следующем виде:

Если известны приращения начальных напряжений, то из уравнения (12.49) можно найти неизвестные на границе. Определение начальных напряжений обсуждается ниже.

Если определены неизвестные компоненты смещений и усилий на границе, то при помощи соответствующих соотношений МГЭ можно вычислить смещения и напряжения во внутренних точках. Однако часто выгоднее вычислить смещения в достаточном количестве внутренних узлов и, исходя из этого, определить деформации, используя или конечноэлементное, или конечноразностное представления, скажем

где узловые значения смещений. Матрица зависит от порядка восполнения смещений (т. е. линейное, квадратичное или кубическое) между узлами.

Напряжения, соответствующие этим деформациям, могут быть вычислены по следующим формула:

где матрица констант упругости, матрица характеристик упругопластичности, вычисленная с использованием соответственно прослеженной истории изменения напряжений.

Проведенный выше анализ требует полного знания распределения начальных напряжений в пластической области, которое для конкретного приращения нагрузки заранее неизвестно. Оно должно быть получено из описанного ниже итерационного процесса. Для этой цели удобно записать уравнение (12.49) в виде

где x - вектор неизвестных усилий и смещений на границе, b - матрица, полученная умножением соответствующих столбцов на заданные приращения усилий и смещений на границе.

Теперь этапы пошагового решения могут быть описаны следующим образом.

1. Дадим приращение нагрузки предполагая равным нулю.

Вычислим х, деформации и приращения упругих напряжений а. Промасштабируем решение так, чтобы ячейка, в которой напряжение максимально, попала в точку текучести. Запомним текущие значения напряжений

2. Дадим малое приращение нагрузки. Вычислим приращения напряжения во всех ячейках с использованием соотношения между напряжением и деформацией в рамках теории упругости, т. е. Вычислим значения эквивалентных напряжений с использованием выражения в качестве истории изменения напряжений и составим список пластических ячеек. Вычислим правильные напряжения в упругопластических ячейках, используя упругопластическую зависимость между напряжением и деформацией (в качестве первого приближения) упругие приращения деформаций. Полученные начальные напряжения являются первым приближением. Модифицируем историю изменения напряжений для пластических ячеек, приняв и положим

3. Положим и по полученным начальным напряжениям вычислим при помощи уравнения (12.52) новый вектор х, а также приращения узловых смещений приращения деформаций и приращения напряжений с учетом упругой зависимости между напряжениями и деформациями Используя соотношение вычислим эквивалентные напряжения и составим список пластических ячеек. Для упругопластических ячеек вычислим правильные напряжения Полученные начальные напряжения суть Модифицируем историю изменения напряжений для пластических ячеек, приняв и положим

4. Проверим, являются ли начальные напряжения меньшими допустимой величины; если то перейдем к шагу 2; если нет, то вернемся к шагу 3. Если число итераций превышает, скажем, , то разумно предположить, что наступило «разрушение».

В рамках этого алгоритма возможно несколько усовершенствований. Например, некоторая степень экстраполяции вперед может привести к более быстрой сходимости. Точность может быть улучшена, если производится проверка знака скорости рассеянной пластической работы, чтобы убедиться в том, что все пластические ячейки действительно являются пластическими. Описанный выше пошаговый алгоритм, по существу, сходен с алгоритмом, описанным Зенкевичем [30].

Алгоритм, основанный на формулировке, использующей начальные деформации, в некоторой степени отличается от рассмотренного выше; детальное описание его читатель найдет в работе Мендельсона и Алберса [39]. Представляется, однако, что для обычных упруго пластических моделей метод начальных напряжений, который мы описали выше, приводит к более широко применимой процедуре.