14.2.5. Иной энергетический подход, приводящий к симметричным соотношениям МГЭ

Рассмотрим интегральное уравнение

где К — интегральный оператор, неизвестная функция — заданные граничные значения.

Для самосопряженного оператора К мы можем записать функционал П:

где обозначает скалярное произведение, определенное формулой

Если распределение представить в виде

где узловые значения то вместо (14.36) будем иметь

Находя вариацию функционала относительно и приравнивая к нулю, получаем

или

Заметим, что в подробной записи уравнение (14.39) принимает

и совпадает с соотношением метода Галёркина для исходного граничного интегрального уравнения, приводящим к симметричной матрице А системы.

Описанный выше метод развивался и использовался рядом специалистов, главным образом в задачах электротехники [3, 4, 17, 26, 33, 34]. Несколько иной подход к получению матриц систем МГЭ, основанный на использовании на границе метода наименьших квадратов, описан Тоттенхемом [35].