6.6. Дискретизация
6.6.1. Общие положения
Мы можем разделить поверхность тела на плоские треугольные элементы, построить локальную систему координат, как описано в гл. 5 (разд. 5.4.1), и предположить, что на каждом элементе параметры и 
меняются линейно. Поэтому основной алгоритм идентичен рассмотренному в гл. 5 алгоритму решения трехмерной задачи о потенциальном течении. Для простоты будем предполагать, что объемные силы, начальные напряжения и т. п. отсутствуют.
6.6.2. Линейные базисные функции
Если предположить, что на 
(например) граничном элементе неизвестные фиктивные интенсивности меняются линейно, то имеем [30]
трехмерный вектор фиктивных усилий в произвольной точке внутри элемента, имеющий компоненты 
по осям 
матрица размером 
девятимерный вектор-столбец узловых значений 9. Тогда дискретизованные формы соответствующих граничных интегралов можно получить рассмотренным в гл. 4 способом.
6.6.3. Вычисление некоторых интегралов
Схемы интегрирования функций, не обладающих особенностями и обладающих ими, будут идентичны схемам, рассмотренным в предыдущих главах. В случае когда подынтегральные выражения остаются конечными на всем интервале интегрирования, применяются формулы численного интегрирования. Сингулярный случай, когда точка поля совпадает с узлом, в котором базисная функция стремится к единице, следует выделить особо; в этом случае интегрирование должно проводиться аналитически (см. разд. 4.4.2 и 5.4.4).
(а) Вычисление 
или 
.
Введем локальную систему координат (рис. 6.2): оси 
в плоскости элемента и ось 
по направлению нормали в рассматриваемом узле [5]; тогда
где 
соответственно направляющие косинусы осей 
в глобальной системе координат.
Рис. 6.2.
Перепишем интеграл в виде
где 
Поэтому 
(б) Вычисление 
или 
Здесь мы в точности следуем методу вычисления этих интегралов, предложенному Крузом 15]. Для плоского элемента 
поэтому функция 
сводится к
Используя тождества
где 
перестановочный тензор (тензор Леви-Чивиты, см. приложение А):
мы можем записать интеграл 
в виде
Используя теорему Стокса, преобразуем этот интеграл в контурный:
Вводя вдоль стороны 
локальные переменные 
имеем
Окончательный результат получается такой переориентацией локальной системы координат, что 
поочередно совпадает со сторонами 
треугольника. Эти результаты затем выражаются через координаты точки поля и координаты узлов. Ясно, что (6.46) можно использовать для аналогичного вычисления интеграла в случае плоского четырехугольного элемента.
Так как нормаль 
не меняет направления на нашем плоском элементе (т. е. не существенно, берется ли нормаль в точке приложения нагрузки или в точке поля) и 
легко показать, что для этого локального элемента
Поэтому в НМГЭ можно использовать тот же результат для элемента, изменив знак.
Если в (6.46) точка поля берется внутри области, то разрывные члены, возникающие из-за рассмотрения этого интеграла как несобственного, получаются автоматически.
Читатель должен отметить, что интегралы в (5.14) и (6.45) подобны.
