6.8. Примеры

Удобства, присущие МГЭ при исследовании трехмерного напряженного состояния в инженерных задачах, привели к появлению обширной литературы, демонстрирующей полезность этого метода в обычном анализе. Для громоздких тел это, по-видимому, единственный в настоящее время надежный метод, позволяющий получать подробные результаты за разумную плату. Кроме того, МГЭ дает возможность пользоваться теорией сингулярных решений, представлений граничной геометрии, анизотропии и т. д. перед выполнением численных расчетов. В этом параграфе представлены несколько решенных задач и дана оценка точности полученных результатов.

(а) Задача о нагруженном кубе [11]. Дискретизация границы и приложенные нагрузки показаны на рис. 6.5. В задаче 1 смещения их линейно изменяются в конце консоли (рис. 6.5,в).

На рис. 6.6, а изображено напряжение в различных местах, включая внутренние и граничные точки; видно, что рассчитанные изгибающие напряжения находятся в прекрасном соответствии с точным решением. На рис. 6.6, б показаны распределения изгибающих и сдвиговых напряжений вдоль вертикальной линии, проходящей через центр образца от его середины, для задач 2 и 3. Для сравнения приведены результаты трехмерного анализа, использующего предположение о равномерном распределении усилий и смещений в задаче 3. Ясно, что в этой задаче результаты трехмерного анализа весьма неудовлетворительны и что для тел с преобладанием изгибающих напряжений на границе необходимо рассматривать функции, меняющиеся вдоль границы по меньшей мере линейно.

(б) Трехмерная задача о выработке [10]. Для непосредственного сравнения метода конечных элементов и МГЭ при анализе трехмерного напряженного состояния была выбрана структура типа выработки с крепью для поддержания кровли в угольной шахте. Геометрия этой задачи, дискретизация с помощью конечных элементов и две системы граничных ячеек показаны на рис. 6.7. На рис. 6.7, а изображена часть структуры (плоскости являются плоскостями симметрии); на поверхностях 1, 2 и 3

(кликните для просмотра скана)

Рис. 6.7. а — форма выработки; б - моделирование выработки при помощи МКЭ; в — моделирование выработки при помощи МГЭ-001; г - моделирование выработки при помощи МГЭ-003.

нормальные и сдвиговые смещения равны нулю, к поверхности 4 приложена нормальная нагрузка.

Круз [10] использовал кусочно-постоянную аппроксимацию для решения этой задачи и выяснения следующих вопросов:

1) Дают ли МКЭ и МГЭ сравнимые значения для внутренних напряжений?

2) Каковы относительные размерности задачи и время счета в обоих методах?

3) Как в этих двух методах решается задача о концентрации напряжений в месте соединения выработки и крепи?

В анализе при помощи МКЭ использовались модифицированные гексаэдры Айронса — Зенкевича (Irons - Zienkiewicz hexahedra). Было показано, что во всех внутренних точках напряжения, полученные при помощи МКЭ, отличаются на 10—15% от напряжений, полученных при помощи МГЭ-001 (рис. 6.7, в) и на 5% при использовании МГЭ-003 (рис. 6.7, г).

Рис. 6.8. Напряжения вблизи места соединения кровли и крепи.

В табл. 6.1 суммируются численные результаты, использующие раннюю версию программы МГЭ, разработанную Крузом. На рис. 6.8 изображены вычисленные при помощи МГЭ напряжения

Таблица 6.1 (см. скан) Результаты МКЭ и МГЭ в трехмерной задаче о выработке

вблизи места соединения кровли и крепи. Дискретизация конечными элементами слишком груба, чтобы дать детальное описание напряжений; ясно, что результаты, полученные при помощи МКЭ, не применимы и требуется гораздо более точная дискретизация в углах, которая в свою очередь приводит к увеличению времени счета. Поэтому полное сравнение не так точно, как того можно было бы желать.

(в) Трехмерный анализ напряженного состояния группы погруженных в грунт свай [35]. На рис. 6.9, а изображена группа свай погруженных в многослойный грунт, а на рис. 6.9, б — принятая схема дискретизации. Среднее вертикальное напряжение по сечению свай показано на рис. 6.10, где отчетливо видно, что центральная свая несет наименьшую нагрузку, а четыре угловые сваи — почти половину нагрузки и что доля нагрузки, приходящаяся непосредственно на верхнюю плиту, незначительна.

Рис. 6.9. Геометрия и способ дискретизации задачи о группе свай.

Рис. 6.10. Распределение вертикальных напряжений в сваях.

Рис. 6.11 объединяет результаты, полученные при помощи трехмерного анализа смещений под нагрузкой для погруженной в изотропный упругий грунт группы жестких свай как с жесткой верхней плитой, так и без плиты. (Относительная осадка определяется как отношение осадки группы N свай к осадке одной сваи при условии, что все сваи несут одинаковые средние нагрузки.)

Эту задачу решили при помощи НМГЭ Бенерджи и Баттерфилд [36], использовавшие для получения ядер решение Миндлина [371 задачи о сосредоточенной силе внутри полупространства. Так как это частное решение задачи о сосредоточенной силе автоматически удовлетворяет граничным условиям на свободной от напряжений поверхности полупространства, нужно дискретизовать только поверхности соприкосновения плиты и грунта, а также сваи и грунта. Имеется дополненная коммерческая версия [38] этой программы позволяющая учитывать деформируемость и наклон свай, боковое нагружение, неоднородности и проскальзывания поверхности сваи по грунту.

(г) Анализ осесимметричного напряженного состояния трехмерных тел. Круз, Сноу и Уилсон [34] провели анализ осесимметричного напряженного состояния диска под воздействием граничных стационарных температурных и центробежных нагрузок. Так как в осесимметричном случае ядра имеют сложный вид и связанные с ними вычисления трудоемки, авторы избрали

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

представление границы в виде простых линейных и дуговых элементов. Как показано на рис. 6.12, было принято параболическое изменение искомых функций в пределах каждого элемента. На рис. 6.13 изображена дискретизация границы диска толщиной 1 дюйм с внутренним радиуеом 2 дюйма и внешним радиусом 10 дюймов. Задача исследовалась в трех тестовых случаях:

1) радиальное нагружение по ободу, ;

2) нагружение центробежными силами;

3) стационарное неоднородное распределение температуры.

В табл. 6.2-6.4 результаты расчетов сравниваются с точным решением Тимошенко и Гудьера [39]. Соответствие очень хорошее, и погрешность составляет менее 2%.

Таблица 6.2 (см. скан) Диск с нагрузкой, приложенной к ободу

В работе [34] рассматривался также цилиндрический образец с кольцевым вырезом, обычно использующийся при испытании на усталость. Дискретизация МГЭ показана на рис. 6.14 в случае большого количества элементов, использованных для получения детальной картины концентрации напряжений в окрестности выреза. Номинальный коэффициент концентрации напряжений быстро меняется при изменении радиуса выреза, и поэтому требуется высокая точность вблизи вершины выреза.

В этой работе проведен также анализ напряженного состояния цилиндрического образца с кольцевым вырезом методом конечных элементов на основе пакета с использованием кольцевых элементов в предположении о линейном изменении деформации. Использованная дискретизация (рис. 6.15) включает 750

Таблица 6.3 (см. скан) Диск под действием центробежных сил

Таблица 6.4 (см. скан)

Диск со стационарным одномерным распределением температуры

узлов и 300 элементов по сравнению с 70 узлами и 35 граничными элементами, показанными на рис. 6.14. Время счета на машине IBM 360 для МКЭ и МГЭ составило соответственно 3 и 1 мин.

Рис. 6.15. Дискретизация конечными элементами для цилиндрического образца с кольцевым вырезом.

В табл. 6.5 приведены коэффициенты концентрации напряжений, полученные обоими методами при различных формах выреза.

Таблица 6.5 (см. скан) Коэффициент концентрации напряжений для образца, используемого при испытаниях на усталость

Стоит подчеркнуть также, что время подготовки данных для анализа МГЭ значительно меньше, чем время, требуемое пакетом NASTRAN. Другие примеры могут быть найдены в работах [1—11, 22—24, 31—36, 38, 40—47].