3.7. Вспомогательные интегралы по граничным элементам и внутренним ячейкам

После дискретизации границы и внутренней области, отвечающих некоторой задаче, все готово для матричной

аппроксимации определяющих интегральных уравнений, и остается только проинтегрировать фундаментальное решение и его производные вдоль отдельных граничных элементов и по внутренним ячейкам. Ниже выписаны вспомогательные интегралы, появляющиеся при применении каждого из рассматриваемых методов.

1. Непрямой МГЭ (уравнения (3.15) и

2. Прямой МГЭ (уравнения. 41) и

Два одномерных интеграла от и два интеграла от по площади совпадают в силу симметричности Интегралы от и от имеют сильные особенности при тогда как все остальные являются интегралами от функций со слабой особенностью в тех же точках.

Для простых дифференциальных уравнений и простых схем дискретизации, особенно тех, в которых распределения потенциала и интенсивностей источников по линейным граничным элементам и треугольным внутренним ячейкам считаются однородными, все указанные выше интегралы можно вычислить аналитически. Их, безусловно, можно найти и приближенно с любой степенью точности методами численного интегрирования, как это приходится делать при вычислении интегралов от гораздо более сложных сингулярных решений с учетом их изменения по элементам с криволинейными границами. Используемые при этом численные квадратуры, изопараметрические элементы и т. п. будут подробно рассмотрены ниже.

В силу того что функции фигурирующие в задачах теории потенциала, особенно просто поддаются непосредственному интегрированию по линейным и треугольным элементам, а также того, что получаемые аналитические решения помогают глубже понять проблемы, связанные с наличием у функций особенностей, в настоящем разделе мы в явном виде найдем все выписанные выше вспомогательные интегралы.

Во всех случаях мы будем пользоваться локальной системой координат (рис. 3.6, а) с началом, как правило, в нашей точке наблюдения При введении единичного вектора мы каждый раз будем предполагать, что он преобразован из глобальной системы координат в локальную.

(a) . Согласно уравнению (3.4),

Рис. 3.6.

поэтому, переходя к локальным координатам, имеем

Таким образом,

Выражение (3.50) равно значению потенциала, создаваемого в некоторой точке наблюдения равномерно распределенным вдоль источником единичной интенсивности. Точка наблюдения может быть, скажем, серединой граничного элемента как это требовалось в уравнении (3.15). При суммировании по всем граничным элементам всегда возникает ситуация, когда (т. е. достигает середины граничного элемента: всегда соответствующая тем диагональным элементам матриц которые должны вычисляться с надлежащей осторожностью, так как ядра подынтегральных выражений имеют особенности при

При подходе к изнутри и так как стоящая под знаком одномерного интеграла функция имеет лишь слабую особенность, из соотношения (3.50) мы без труда получаем требуемый результат:

(б) Согласно уравнению (3.6), следовательно, в локальной системе координат

Если мы снова устремим изнутри А, то и

(в) . Теперь и мы имеем Следовательно,

и

если и совпадают. В этом особом случае, так же как и в ему соответствующем, указанном в пункте (б), единственный ненулевой вклад дает несобственный интеграл

Пункты (б) и (в) должны внести ясность в понимание основных различий между интегралами от выражающимися в виде (3.52) и (3.53) соответственно.

(г) . Здесь для обозначения координат точки наблюдения мы используем чтобы подчеркнуть, что эти интегралы появляются только в прямом МГЭ при вычислении потока в точках, не принадлежащих границе Согласно уравнению

где нашей локальной системе координат и это уравнение принимает вид

Таким образом, вспоминая, что и обозначая в соответствии с рис. 3.5,а находим

Вычисление выражения (3.54) для любых точек наблюдения внутри А уже не вызывает затруднений, а именно это нам и требовалось. Интересно, однако, отметить, что наличие у функции сильной особенности порядка означает, что интеграл не может быть вычислен. Действительно, при значение выражения (3.54) стремится к и неограниченно возрастает при Это обстоятельство приводит к серьезным вычислительным трудностям при реализации прямого метода для точек, расположенных вблизи границы.

Соотношения (3.50) — (3.54) содержат аналитические выражения для всех интегралов по линейным элементам, требующихся для формирования матриц в уравнениях (3.17) и (3.18), и в уравнениях (3.42) и (3.47), а также матрицы в уравнении (3.48). Теперь остается рассмотреть интегралы от по площадям внутренних ячеек. Эти интегралы желательно было бы найти в аналитическом виде, особенно по ячейкам, содержащим точки наблюдения. Их значения становятся элементами главных диагоналей матриц в уравнениях (3.47), (3.48) и др., и, хотя приведенные ниже выражения могут быть использованы

для вычисления всех элементов матриц, недиагональные элементы, вероятно, проще находятся с помощью численных квадратур.

На рис. 3.7, а показано типичное положение точки внутри ячейки, по площади которой равномерно распределены источники Любую такую ячейку можно разбить на три

Рис. 3.7.

Рис. 3.8.

треугольника (рис. 3.7, а) с общей вершиной в точке поэтому достаточно рассмотреть лишь один из них (рис. 3.7, б), после чего искомый ответ будет получен простой суперпозицией. Более того, если находится вне некоторой ячейки (рис. 3.7, в) или на границе ячейки, то результат находится с помощью того же самого аналитического решения (рис. 3.7, б) путем применения метода суперпозиции по схеме, изображенной на рис. Таким образом, рассмотрев один треугольник в локальной системе координат (рис. 3.8), мы сможем получить все подлежащие определению элементы матриц в уравнениях (3.17) и (3.18), а также матриц в уравнениях (3.42) и (3.48).

(д) . Мы уже получили (соотношение интеграл от по полосе (рис. 3.8) и теперь просто проинтегрируем это выражение по Имеем

(е) . Снова путем обычного интегрирования, на этот раз выражения (3.52) по получаем

(Необходимо помнить, что компоненты единичного вектора преобразуются в соответствии с выбором локальной системы координат таким образом, что ось параллельна и потому принимают различные численные значения для каждого из треугольников.)

Аналогично для из выражения (3.53) будем иметь

Итак, все требуемые вспомогательные интегралы найдены, и, хотя в данном случае полученные результаты оказались весьма простыми и поучительными, совершенно ясно, что при дальнейшем усложнении, обусловленном либо сложностью сингулярных решений, либо геометрией элементов, либо, наконец, неоднородностью распределений источников или граничных условий, аналитическое вычисление интегралов неизбежно должно будет уступить место соответствующим процедурам численного интегрирования. Применительно к задачам о потенциальных течениях полученные выше аналитические результаты открывают наиболее удобный путь для формирования элементов различных матриц; иллюстративные примеры их использования будут приведены в § 3.10.