3.5.2. Вычисление значений потенциала и скорости во внутренних точках

Пусть все компоненты (на границе) известны; тогда, снова подставив их в уравнение (3.30) или (3.36), мы получим значения потенциала или потока в направлении в некоторых последовательно выбираемых точках внутри А. Эти уравнения тоже полезно представить в дискретной форме. В соответствии с описанной выше процедурой дискретизации уравнение (3.30) для некоторой внутренней точки принимает вид

т. е.

где и все элементы матриц могут быть вычислены путем обычного интегрирования, поскольку единственная особенность, возникающая в содержащих интегралах по ячейке, в которой лежит точка является слабой.

Аналогичным образом уравнение (3.36) преобразуется к виду

Особенности, возникающие в содержащих интегралах по внутренней ячейке, в которой лежит точка снова оказываются слабыми (порядка следовательно, компоненты векторов или в уравнении (3.48) не содержат интегралов в смысле главного значения.

Таким образом, мы завершили описание прямого МГЭ применительно к типичной двумерной задаче о потенциальном течении в однородной области, и читателю рекомендуется теперь параллельно проанализировать оба метода решения — прямой и непрямой. На основе этого анализа, вероятно, можно прийти к справедливому выводу, что затраты на вычисление в непрямом МГЭ фактически совпадают с требуемыми в прямом методе для нахождения первоначально неизвестных значений на границе. Однако в дальнейшем в связи с формированием в прямом методе дополнительной матрицы затраты на вычисление этим методом значений во внутренних точках существенно возрастают и могут конкурировать с затратами, которые обусловлены дополнительными операциями с вектором в непрямом методе, необходимыми для нахождения остальных граничных значений.

Еще одно интересное обстоятельство связано с уравнением (3.44),

которое при отсутствии каких бы то ни было источников можно переписать в следующем виде:

Уравнение (3.49) связывает граничные значения потока и потенциала подобно тому, как это обычно получается в методе конечных элементов, хотя в данном случае мы имеем лишь один «суперэлемент», представляющий собой всю нашу однородную область независимо от ее формы. В § 3.8 мы покажем, каким образом формируются подобные зональные суперэлементы при решении с помощью МГЭ задач для кусочно-однородных тел.

Однако, прежде чем перейти к этому, мы установим в § 3.6 эквивалентность прямого и непрямого вариантов МГЭ, а затем рассмотрим в § 3.7 технику вычисления всех промежуточных интегралов вида и др., входящих в уравнения (3.15) — (3.22) и (3.40) — (3.49). При этом мы воспользуемся аналитическими решениями для линейных и плоских элементов с равномерно распределенными на них источниками.