17. Парабола третьей степени.

Многочлен 3-й степени

имеет своим графиком кривую, называемую параболой третьей степени. Мы рассмотрим эту кривую в простейшем случае

При положительном а знаки х и у одинаковы, а при отрицательном а — различны. В первом случае кривая расположена в первом и третьем координатных углах, а во втором случае — во втором и четвертом углах. На рис. 17 изображен вид этой кривой при различных значениях а.

Рис. 17.

Если х и у одновременно заменить на (-х) и (-у), то обе части уравнения (8) изменят знак, и уравнение по существу не изменится, т. е. если точка (х,у) лежит на кривой (8), то и точка (-х, -у) также лежит на этой кривой. Точки лежат, очевидно, симметрично относительно начала О, т. е. отрезок, их соединяющий, делится началом О пополам. Из предыдущего следует, что всякая хорда кривой (8), проходящая через начало координат О, делится этим началом пополам. Иначе это выражают так: начало координат О есть центр кривой (8).

Отметим еще один частный случай параболы третьей степени:

Правая часть этого уравнения есть сумма двух слагаемых, и, следовательно, для построения этой кривой достаточно провести прямую

и взять сумму соответствующих ординат лииий (8) и (10) непосредственно из чертежа. Различные виды, которые может при этом принять кривая (9) (при а=1 и различных с), изображены на рис. 18.

Построив кривую

получим удобный (при небольшой точности вычислений) графический способ для решения уравнения 3-й степени

так как корни этого уравнения суть не что иное, как абсциссы точек пересечения кривой

с прямой

Чертеж нам покажет (рис. 19), что таких точек пересечения может быть одна, две или три, но одна — наверно, т. е. уравнение 3-й степени имеет, по крайней мере, один вещественный корень. Строго доказано это будет впоследствии.

Рис. 18.

Рис. 19.