§ 1.9. ТОКИ И ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

Начнем с обсуждения релятивистской теории вторичного квантования, которая, как мы видели, в рамках теории возмущений эквивалентна первично квантованной теории. При квантовании точечной частицы в формализме Гупты-Блейлера мы пришли к уравнениям движения

которые можно вывести из вторично квантованного действия

Одним из наиболее мощных методов, которые мы использовали при

изучении теории первичного квантования, была симметрия. Теперь нам хотелось бы рассмотреть симметрии, возникающие в рамках формализма вторичного квантования.

Сначала вычислим уравнения движения, проварьировав поле и потребовав, чтобы действие при такой вариации было стационарным:

Проинтегрируем по частям, используя

Если временно пренебречь поверхностным членом, то действие будет стационарным при выполнении следующего уравнения движения:

Подстановка лагранжиана в это уравнение дает уравнения движения, воспроизводящие найденное ранее ограничение для формализма первичного квантования.

Сделаем теперь небольшое изменение полей, параметризованное малым, но пока не определенным числом

Если подставить это выражение в предыдущее уравнение для вариации действия, сохраняя поверхностный член неизменным и предполагая выполненными уравнения движения, то получим следующее уравнение:

Определим тензор в скобках как ток:

Тогда мы получаем важное уравнение

Так, если действие стационарно при этой вариации, то мы получаем сохраняющийся ток

Мы будем использовать это уравнение снова и снова при обсуждении струн, когда нам понадобится найти ток для суперсимметрии и

конформной инвариантности. Наконец мы заметим, что суммарный заряд связанный с током, постоянен во времени:

Так,

Наконец, мы хотим построить еще один сохраняющийся ток, связанный с действием. Сделаем небольшую вариацию пространственно-временной переменной:

При этом изменении элемент объема в интервале меняется так:

Следовательно, вариация действия при этом изменении равна

Если теперь предположить, что уравнения движения удовлетворены, то получим

Если мы теперь определим тензор энергии-импульса как

то получим уравнение

Так что если действие не изменяется при данном изменении пространственно-временной переменной, то тензор энергии-импульса сохраняется:

Например, для действия скалярной частицы тензор энергии-импульса принимает вид

эта величина сохраняется, если уравнения движения удовлетворены.

Наконец, поучительно рассмотреть, как различные процедуры квантования применяются к полю Янга-Миллса (см. приложение). Начнем с -инвариантного действия:

где

Это действие инвариантно относительно

где -калибровочный параметр.

Метод континуального интеграла начинает с функционала

Теперь рассмотрим три метода квантования.

Кулоновское квантование

Калибровочная инвариантность позволяет выбрать калибровку

Мы можем проинтегрировать по компоненте поскольку она не содержит производных по времени, так что кулоновская формулировка с очевидностью свободна от духов. (Цена, которую приходится за это платить, это, конечно, отсутствие явной лоренц-инвариантности, которую нужно проверять вручную.) В этой калибровке действие принимает вид

где все поля являются поперечными. Это каноническая форма лагранжиана.

Квантование Гупты-Блейлера

Формулировка Групты-Блейлера обладает тем преимуществом, что мы можем сохранить явную лоренц-инвариантность, не нарушая унитарности. Например, возьмем калибровку

В этой калибровке пропагатор безмассовых векторных частиц принимает

вид

Заметим, что этот пропагатор в явном виде содержит дух. Времениподобное возбуждение обладает коэффициентом — 1 в пропагаторе, что соответствует духу. Однако мы можем осуществить квантование в этом ковариантном подходе, поскольку мы наложим устраняющую духи связь на гильбертово пространство:

Эта связь позволяет разрешить его относительно духовых мод и тем самым устранить их. Итак, хотя свободный пропагатор допускает распространение духов, но гильбертово пространство свободно от духов, так что сама теория одновременно и лоренц-инвариантна, и свободна от духов.

Квантование BRST

Подход BRST начинается с вычисления детерминанта Фаддеева-Попова (1.6.10). Вычислим определитель следующей матрицы:

Как и выше, можно записать определитель матрицы включив его в действие с помощью (1.6.10):

Здесь антикоммутирующие духовые поля Фаддеева-Попова представлены величинами с и с. Это действие инвариантно относительно следующего преобразования BRST:

Опять же важно заметить, что цреобразование BRST является

нильпотентным. Симметрия BRST не связана с сохранением каких-либо наблюдаемых величин. Для этой симметрии мы можем найти генератор этого преобразования, такой что

физические состояния рассматриваемой теории тогда удовлетворяют условию