§ 8.3. ОБЪЕДИНЕННАЯ СТРУННАЯ ГРУППА

Определив порознь струнную группу SG и Diff(S), объединим их теперь и обсудим универсальную струнную группу для бозонных струн и ее суперсимметричное обобщение - объединенную струнную группу.

Чтобы выписать генераторы универсальной струнной группы, нам придется ввести параметризованные генераторы струнной группы. Пусть струна С параметризуется параметром

Это приводит к тому, что принимает вид

струна С параметризуется теперь точками, обозначенными и можно выбирать сколь угодно большим.

«ведя конкретную параметризацию, мы получаем бесконечное число параметризованных струн которые соответствуют одной и той же физической струне С. Это означает, что с каждой физической струной

С связывается ее класс эквивалентности параметризованных струн В каждом классе эквивалентности лежит бесконечное число параметразованных струн, описывающих одну и ту же физическую струну Таким образом, имеет место следующее разложение:

т. е. универсальная струнная группа представляет собой полупрямое произведение струнной группы и диффеоморфизмов струны. Вообще говоря, параметризованные струны X и принадлежат одному классу эквивалентности, если они описывают одну и ту же пространственно-временную струну, т. е.

и отличаются на бесконечно малую величину.

Теперь, необходимо переопределить структурные константы группы SG для параметризованных струн:

В качестве первого предположения можно было бы принять

и

Эти определения удовлетворяют тождеству Якоби. Однако в результате суммирования по всем струнным состояниям, принадлежащим одному классу эквивалентности, здесь появляется бесконечная константа. Иными словами, необходимо определить меру интегрирования по этим состояниям.

Для определения меры введем векторное поле позволяющее вычислять разность двух элементов внутри одного и того же класса эквивалентности. Если одна струна параметризуется посредством а другая внутри того же класса посредством то

Введем геометрическую вершину:

где а определяется согласно (8.3.8). Антисимметричные структура

константы представлены в (8.3.7). Заметим, что в определении структурных констант имеется значительная свобода, поскольку мы всегда можем сделать калибровочное преобразование на струнах, которое изменит также поле (Эта свобода выражается в том, что мера интегрирования дается струнной плотностью которую мы обсудим более детально в разд. 8.6. Струнная плотность обладает явной репараметризационной инвариантностью.)

Выпишем алгебру универсальной струнной группы [1-5]:

Здесь структурные константы группы Вирасоро имеют вид

а оператор, генерирующий репараметризации, есть

причем можно разложить в ряд Фурье по

Первая строка в (8.3.10) соответствует алгебре в то время как последняя - струнной группе. Средняя строка показывает, что универсальная струнная группа есть полупрямое произведение параметризационной и струнной групп.

Поле заменяется теперь на где

Полевой функционал должен преобразовываться как

Это объясняет происхождение полевого функционала из уравнения (6.3.3), которое было выписано нами в главе, посвященной теории в калибровке светового конуса. В действительности мультилокальный функционал - не скаляр, а вектор, преобразующийся по присоединенному представлению универсальной струнной группы USG.