§ 11.5. ВЛОЖЕНИЕ СПИНОВОЙ СВЯЗНОСТИ

Вооруженные приведенным набором элементарных сведений из алгебраической топологии, вернемся к феноменологии теории струн и используем полученную информацию.

Выше мы видели, что условие -суперсимметрии подразумевает существование ковариантно постоянного спинора. Это в свою очередь предполагает, что шестимерное многообразие кэлерово, риччи-плоское и имеет группу голономии

Теперь мы хотим использовать оставшееся условие, следующее из тождества Бьянки (11.1.9):

Это воистину странное равенство, так как мы имеем тензор Римана слева и тензор Янга-Миллса справа. Уравнение (11.1.9), являющееся тождеством, лишено какого бы то ни было содержания, но если мы предположим

то найдем, что уравнению (11.5.1) довольно сложно удовлетворить. Таким образом, сохранение тождества Бьянки нетривиально из-за большого числа связей, налагаемых на рассматриваемую систему.

Есть один привлекательный способ разрешить это дополнительное уравнение. Он заключается в том, чтобы часть калибровочных полей группы положить равными римановой спиновой связности, имеющей группу голономии Это приводит к нетривиальной связи между спиновой связностью и калибровочным полем Янга-Миллса. Это вложение в терминах калибровочных полей можно выполнить следующим образом:

Здесь - спиновая связность, занимающая часть матрицы калибровочного поля. Следовательно, чтобы вложить спиновую связность в калибровочное поле Янга- Миллса, необходимо найти подгруппу калибровочной группы, содержащую группу Это означает, конечно, что Мы нарушаем исходную калибровочную симметрию поля Янга-Миллса. Простейшее разложение имеет вид

При этом мы должны проверить, что коэффициенты Клебша-Гордона таковы, что тождества Бьянки удовлетворяются. В частности, необходимо показать, что мы можем получить множитель в тождестве Бьянки (11.1.9).

Мы знаем, что калибровочные поля Янга-Миллса находятся в присоединенном представлении группы имеющей 248 базисных элементов.

тов. Мы должны теперь найти разложение этих 248 элементов на представления группы что всегда можно сделать. Находим

Чтобы увидеть, выполняется ли (11.5.1), перейдем от присоединенного представления группы к представлению Пусть X - генератор группы . Мы хотим найти связь между следом квадрата матрицы X в представлении 8 и представлении Ответ таков:

Сосредоточимся теперь на мультиплетах группы в разложении (11.5.5). Заметим, что мы имеем 27 полей, преобразующихся по представлению 30 3 группы а также один октет. Но сумма следов квадратов матриц октета, как мы видели в (11.5.6), должна быть умножена на 3, когда мы переходим к представлению 303 матриц группы Таким образом, суммарный «излишек» в представлении равен

что и дает множитель 30. В силу вложения спиновой связности, при котором тензор кривизны определяет то же самое пространство, что и тензор Янга-Миллса, мы можем теперь удовлетворить (11.5.1), так как недостающий коэффициент 30 появляется, когда мы подсчитываем кратность вхождения представлений группы в (11.5.5).

Нарушение симметрии до предпочтительно по феноменологическим причинам, так как группа была широко исследована при построении модели ТВО

Исходная группа не имеет, в противоположность комплексных представлений, которые необходимы для описания киральных фермионов. Мультиплет 27 на самом деле является наиболее предпочтительным мультиплетом для фермионов при построении модели с группой Группа хороша также и с точки зрения низкоэнергетической суперсимметрии, потому что представление 27 для фермионов может образовывать суперсимметричный мультиплет с представлением 27 для хиггсовских полей.

В кратком изложении феноменологически приемлемое заключение имеет вид

Поскольку фермионы находятся теперь в представлении 27, мы можем поставить вопрос: сколько существует поколений фермионов. Теории ТВО, как мы видели, досаждала проблема поколений. Не было

причин для предположения существования более чем одного поколения.

В теории суперструн ситуация как раз противоположная. Мы сейчас покажем, что мы получаем слишком много поколений фермионов!