§ П.5. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СУПЕРГРАВИТАЦИИ

Существует по крайней мере четыре способа сформулировать теорию супергравитации:

(1) Покомпонентное представление. Этот метод широко использует технику проб и ошибок, однако он дает наиболее явную форму действия.

(2) Представление с помощью кривизны. Этот метод опирается на теорию групп и аналогию с теорией Янга-Миллса.

(3) Тензорное исчисление. Оно дает точные правила умножения представлений суперсимметрии.

(4) Суперпространство. Это наиболее изящная формулировка супергравитации, однако она же и самая трудная. Суперпространственные формулировки для высоких значений пока что неизвестны, поскольку ограничения на кручение слишком трудно разрешить.

Мы остановимся на методе кривизны, поскольку он напоминает построение теории Янга-Миллса, которой мы пользовались до сих пор.

Поскольку группа имеет 14 образующих, определим 14 полей связности группы выражением

Тогда глобальная вариация полей связности есть

где

Ковариантная производная теперь дается выражением

Под действием локального калибровочного преобразования эти поля преобразуются как

Теперь возьмем коммутатор двух ковариантных производных:

где

В покомпонентной записи получаем

Легко показать, что вариация кривизны есть

Действие теории супергравитации теперь запишется в виде

Если теперь проварьировать это действие, то окажется, что оно не является вполне инвариантным, если только не положить

Выписанное выше действие инвариантно с точностью до члена

Однако поскольку мы наложили эту связь (П.5.11) с самого начала, то это действие и в самом деле вполне инвариантно при данном преобразовании.

Такая связь выглядит весьма искусственной, пока не осознаешь, что она на самом деле эквивалентна обращению в нуль ковариантной производной от тетрады (П.2.31). Поэтому мы выбираем тетраду с нулевой производной, чтобы получить инвариантное действие.

Окончательное действие имеет вид

К сожалению, для более высоких найти действия намного труднее. Метод суперпространства пока что не позволил найти решения для высших но супергравитация для была построена с помощью следующего трюка: расширив размерность пространства-времени до 11, можно построить супергравитацию. Затем компактификацией редуцируем эту теорию к супергравитации.

Исходной точкой для построения -мерной супергравитации будет осознание того факта, что нам необходимы равные количества бозонных и фермионных полей. Методом проб и ошибок найдем, что следующий выбор даст нам равные количества этих полей:

Здесь тетрада трансверсальная и бесследовая, а Тогда непосредственными вычислениями Креммер, Джулиа и Шерк доказали, что следующее действие инвариантно в -мерной теории:

где

и где

- это - суперковариантизация мы выбрали антисимметризация проводится по формуле индексы относятся к плоскому пространству, к искривленному.

супергравитацию можно получить обрезанием предыдущего действия. Спинор разлагается на пару майорана-вейлевских гравитонов и пару майорана-вейлевских фермионов со спином 1/2. Тетрада разлагается на 10-мерную тетраду и скалярное поле тогда как антисимметричное тензорное поле разлагается на бозонное поле В и Таким образом, редукция дает следующий набор полей:

Окончательно действие в десятимерии принимает вид

где

и и где означает четырехфермионные члены типа Ферми, которые мы опустили. Это низкоэнергетический предел струн типа (поскольку фермионы обладают киральностями, противоположными исходным, в результате размерностной редукции). Поэтому нет и аномалий по сравнению с этой теорией, так как нет киральной асимметрии.

Теория типа однако, не может быть получена из размерностной редукции, так как она содержит фермионы одинаковой киральности (и, значит, содержит аномалии). В теории типа вообще нет ковариантного действия (но имеются уравнения движения на массовой оболочке и корректно определенное действие в переменных светового конуса).

Далее, нам нужно найти взаимодействие супергравитации с веществом теории Янга-Миллса. Супер-янг-миллсовский мультиплет сам по себе дается выражением

где а представляет элементы изоспиновой группы. Заметим, что на массовой поверхности имеется одинаковое количество бозонов и фермионов. Окончательный вид действия дается формулой

где, что удивительно, мы должны изменить условие так, чтобы получилось

Здесь - член Черна-Саймонса:

Вариация В под действием калибровочного преобразования теперь равна

Это действие инвариантно относительно преобразования

Преобразования полей супергравитации те же, что и прежде (при модифицированном поле Н), и новые, которые нужно добавить к закону преобразования, суть

Возникает очевидный вопрос: существуют ли теории супергравитации для Скорее всего, нет, поскольку суперсимметричные генераторы (образующие группы имеют спины 1/2. Если взять состояние гравитона с наивысшей спиральностью и подействовать на него всеми возможными мы обнаружим, что этот ряд должен в конце концов оборваться, в противном случае мы бы получили частицы со спинами 5/2 и 3:

Хотя для свободных полей можно построить теории со спинами 5/2 и 3, представляется, что они окажутся противоречивыми при взаимодействии с другими частицами. Таким образом, поскольку между имеется восемь полуцелых значений спина, то должно быть равным восьми в выписанном выше ряде. Поэтому является наиболее обширной группой для теории супергравитации со значениями спина не выше 2.