§ 8.10. РЕЗЮМЕ

На рис. 8.5 мы видим связь между различными полевыми теориями струн. Цель геометрического формализма - вывести всю теорию из ее

Рис. 8.5. Связь между различными струнными полевыми теориями. Геометрическая струнная полевая теория определяется в пространстве петель. Фиксируя Шибровку геометрической струнной полевой теории и фиксируя параметризацию, мы получаем интерполяционную калибровку (в которой струны имеют произвольные параметризационные длины). Выбирая различные величины пара-Метризационных длин, можно прийти как к ЕР калибровке (типа калибровки светового конуса), так и к МР калибровке.

основных физических допущений. Замечательным образом мы обнаруживаем, что вся полевая теория струн и, следовательно, вся теория струн как таковая могут быть выведены из двух простых предположений:

Глобальная инвариантность. Поля и должны преобразовываться по неприводимым представлениям группы Diff(S).

Локальная инвариантность. Теория должна быть локально инвариантной относительно действия объединенной струнной группы.

Полную полевую теорию струн можно получить как единственное решение, удовлетворяющее этим двум геометрическим принципам.

В самом деле, первый принцип является достаточно мощным, чтобы определить единственным образом свободное действие. Тогда второй принцип определяет теорию целиком. Следовательно, поиск действия полевой теории струн сводится к теоретико-групповой задаче: нахождению инварианта объединенной струнной группы.

Таким образом, полевая теория струн является калибровочной теорией универсальной струнной группы в почти таком же смысле в каком теория Янга-Миллса есть калибровочная теория локальной группы В действительности, мы сейчас понимаем, что полевая теория струн выглядит столь отличной от обычной калибровочной полевой теории просто потому, что неприводимые представления и тензорные произведения этих групп различны.

Мы определяем универсальную струнную группу как группу преобразований отображающих физическую струну С в себя или в ее сопряжения С:

а объединенную струнную группу как ее суперсимметричное расширение. Далее можно найти генераторы этой группы:

и

Чтобы построить действие, мы следуем пути, проложенному калибровочными теориями:

Для построения ковариантных производных мы строим две «связности» для каждой из двух локальных симметрий: для струнно группы и для репараметризационной группы Это в свою очередь дает нам право написать для этих двух групп ковариантные производные и тензоры кривизны:

Мы можем показать наличие строгого соответствия между полями калибровочной теории и полями, возникающими в струнной полевой теории:

Здесь поле Янга-Миллса, -тетрада, -связность, тогда как калибровочное поле струны, струнная тетрада, струнное поле связности.

Окончательное действие есть

где мы опустили индексы V и тензор . Сходство между обычной калибровочной теорией и полевой теорией струн можно выразить в следующем виде:

Как и в общей теории относительности, мы видим, что из полей, преобразующихся под действием универсальной струнной группы, Можно построить только один инвариант, который имеет две производите, и этот инвариант есть действие. Более того, правила умножения и интегрирования постулировать не нужно, а можно вывести из фундаментальных физических принципов.

Трудность, связанная с «перевернутым» подходом, как мы упоминали, состоит в том, что многие особенности, появление которых первично квантованной теории естественно, при экстраполяции во орично квантованный подход выглядят странными и надуманными.

Это происходит потому, что первично квантованный подход является калибровочно-фиксированным и содержит все атрибуты фиксации калибровки, например духи Фаддеева-Попова. Только после рассмотрения геометрического подхода эти неестественные объекты получают, наконец, замечательное математическое объяснение, возникающее из одной лишь теории групп. Фактически мы найдем, что духовые поля

Фаддеева-Попова есть не что иное, как коэффициенты Клебша-Гопдона для тензорного произведения неприводимых представлений группы в касательном пространстве.

Преимущества геометрического подхода следующие:

(1) Тензорное исчисление единственным образом определяет правила умножения и интегрирования. Таким образом, теория групп и только она, диктует, как умножать и интегрировать неприводимые пред. ставления группы. Нам нет необходимости обращаться к каким-либо «аксиомам».

(2) Основное струнное поле BRST

больше не является загадочным объектом. Это просто неприводимое представление группы USG, а именно модуль Верма.

(3) Духовый сектор, составляющий довольно странную особенность формализма BRST, можно интерпретировать как касательное пространство геометрической теории. Духи Фаддеева-Попова легко объяснимы на языке теории групп. С другой стороны, арифметика духовых полей является побочным продуктом выбора специального представления теории, а вовсе не ее фундаментальной особенностью.

(4) Отсутствует необходимость налагать связи, которые неизбежны в подходе BRST. Из-за проблемы со связями в подходе BRST не существует приемлемой замкнутой фермионной струны.

(5) Фиксацией калибровки мы можем прийти либо к калибровке МР, либо к калибровке ЕР.

Еще одно преимущество геометрической теории в том, что четырехструнное взаимодействие, как теперь представляется, есть калибровочный артефакт. Оно появляется как аналог мгновенного четырехфермионного кулоновского члена в КЭД при выборе кулоновской калибровки. Для открытых струн четырехструнное взаимодействие возникает, когда мы преобразуем калибровку от МР к для замкнутых струн - при переходе в противоположном направлении, от калибровки типа светового конуса к МР-калибровке. Это новое взаимодействие четырех замкнутых струн имеет топологию тетраэдра и, как показали компьютерные вычисления, в точности заполняет недостающую область интегрирования комплексной плоскости, необходимую для вывода модели Вирасоро-Шапиро. Таким образом, решается проблема создания полевой теории замкнутых струн, совместимой с модулярной инвариантностью.

В заключение отметим, что для завершения геометрической теории должно быть сделано еще очень много [1-5, 10-12]. Задача в нахождении для струнной теории аналога принципа эквивалентности. Мы надеемся, что это позволит проводить в струнной пертурбативные вычисления. Предварительные непертурбативные данные, полученные в теории инстантонов, из теорем перенормировки

суперсимметричных теорий и другие свидетельствуют о том, что, когда мы выйдем за рамки теории возмущений, должны появиться нетривиальные результаты.

Однако еще до того, как можно будет выполнить непертурбативные вычисления, у нас уже есть богатейшая информация, содержащаяся в классических решениях суперструнной теории. Теперь мы обратимся к части III, в которой обсудим весьма удивительную физику, возникающую при редуцировании теории к четырем измерениям.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)