§ 6.2 ВЫВОД ПОЛЕВОЙ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ

В гл. 1 мы начали с континуального интеграла для точечной частицы, движущейся из точки в Каждому пути, соединяющему эти две точки, был поставлен в соответствие фазовый фактор Фундаментальный постулат квантовой механики состоит в том, что амплитуда вероятности перехода частицы между этими двумя точками представляет собой сумму фаз, связанных с каждым возможным путем. После ваковского поворота мы имеем

где

Эволюция квантовомеханической волны по предположению подчиняется принципу Гюйгенса:

Сейчас нам бы хотелось вычислить вариацию этой волновой функции

при малом смещении во времени. Ранее мы нашли, что пропагатл равен Р

Для малого временного интервала следовательно, поду, чаем

где А - нормировочная константа. Напомним, что временной интервал очень мал, в то время как расстояние между х и у необязательно является малым.

Мы хотим сохранить только члены первого порядка по . Если мы полагаем где необязательно малое число, то интеграл принимает вид

Важно отметить, что в принципе на величину нет никаких ограничений. Однако функциональный интеграл, сохраняя члены порядка , заставит нас ограничиться только членами второго порядка по Разложим в степенной ряд левую часть по , а правую по

Этот интеграл может быть взят точно. Во-первых, константу интегрирования можно положить равной

Выписывая правую часть, замечаем, что в результате гауссова интегрирования выживают только те члены, которые содержат в четно» степени. В итоге у нас остается

Итак, сейчас мы вывели уравнение Шредингера, исходя только из преположения, что и основных принципов квантовой механики. Если мы включаем эффект, обусловленный потенциальным членом.

и обобщаем выражение на случай всех трех пространственных измерений, то вывод в основном не изменяется, и мы приходим к выражению

дол можем также совсем отказаться от внешнего потенциала и ввести взаямодействия типа или прямо в действие. Это есть вторично рдантованный аналог суммирования по и Х-образным топологиям в первично квантованной теории точечной частицы.

Мы следовали первоначальному фейнмановскому выводу уравнения Шрёдингера, основанному на вычислении временной эволюции волновой функции. Однако существует еще один способ, который позволяет осуществить переход от первично ко вторично квантованному формализму и вывести уравнение Шрёдингера более непосредственно. На этот раз мы обратимся к функциональному интегралу действия и покажем, что можно перейти ко вторично квантованному формализму, начиная с самих функций Грина и вовсе не прибегая к уравнениям движения.

В гл. I, выполняя переход от гамильтонова к лагранжеву формализму, мы подставляли бесконечный ряд промежуточных состояний, т. е. собственных векторов оператора координаты из формулы

в выражение

в каждой промежуточной точке между Это позволило нам осуществить переход между гамильтоновым и лагранжевым методами.

Сейчас мы хотим проделать то же самое с интегралом по полному набору вторично квантованных полей:

Следуя (1.8.21), мы определяем

Далее мы собираемся подставить в каждую промежуточную точку начальным и конечным состояниями точечной частицы вместо говенных векторов оператора координаты бесконечный набор фунуциональных состояний . Простейший способ проверить справедливость это взять следующий матричный элемент и подставить в него полный ряд промежуточных струнных состояний:

Здесь, как обычно, мы опускаем в континуальном интеграле нормировочный множитель. Мы обращаемся с как с элементом вектора-столбца, помеченным дискретным индексом х. Дискретизируя выражение, находим

Это в точности совпадает с (1.7.11). Таким образом, мы показали, что можно перейти от первично квантованных базисных элементов к эквивалентным вторично квантованным базисным элементам таким что

Давайте теперь перейдем к выводу функции Грина для уравнения Шредингера полностью на языке вторично квантованных полевых функционалов, не прибегая к уравнениям движения и принципу Гюйгенса. Подставим следующее тождество в каждую промежуточную точку вдоль пути:

(Это тождество можно доказать, выполняя функциональное интегрирование по и тогда оно сведется к условию полноты, записанному через поле

Мы вставляем данное выражение между двумя инфинитезимально близкими собственными векторами оператора координаты в формуле (6.2.12):

Здесь индекс 12 или 1234 просто обозначает произведение двух или четырех таких функциональных дифференциалов. Теперь возьмем предел малых временных интервалов:

После перехода к пределу находим

Отсюда наш новый лагранжиан есть

Он служит лагранжианом для шрёдингеровского волнового уравнения. Итак, имея постулаты квантовой механики и классический первично

кантованный формализм для точечной частицы, мы вывели уравнение щрёдингера, не используя уравнения движения и принцип Гюйгенса.

Основная причина, по которой мы проделали этот анализ для точечной частицы, заключается в том, что мы сейчас собираемся повторить те же самые шаги для полевой теории BRST и полевой теории в калибровке светового конуса. Как ни странно, мы обнаружили, что зесь этот функциональный аппарат переносится непосредственно в полевую теорию струн для действий в формализме BRST и в калибровке светового конуса. И только когда мы наконец достигнем геометрической полевой теории в гл. 8, мы начнем с фундаментальных аксиом и постулируем совершенно новую калибровочную группу.