§ 8.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВЫВОД ДЕЙСТВИЯ

Последние шесть разделов посвящались разработке основной стратегии (8.1.1) и установлению теоретико-групповых свойств универсальной струнной группы USG. Мы должны были потратить много времени, рассматривая разложение тензорных произведений на неприводимые представления группы USG, из-за отсутствия математического исследования проблемы. По сути, все предыдущее рассмотрение служил введением к этому разделу, составляющему основное содержание геометрического формализма. На этом математическая подготовка заканчивается, и мы можем построить само действие в несколько строк. Аналогично, в общей теории относительности значительные усилия, требуются на то, чтобы развить тензорное исчисление общей ковариантности, но затем вывод действия укладывается лишь в несколько строк

Существует только один скаляр, который содержит две производные и состоит из метрики, - это свертка тензора кривизны.

Построим из ковариантной производной кривизну:

Здесь мы опустили индексы V. Под действием струнной группы она преобразуется как

причем член обращается в нуль при свертке с уст. Наш первый выбор для инвариантного действия мог бы иметь форму но он не годится, поскольку не является постоянным тензором группы. Итак, такая свертка невозможна. На самом деле единственно возможный выбор есть

где произведение четырех матриц.

Как можно показать, это выражение, в свою очередь, представляет собой полную производную. Выделяя топологический инвариант Черны-Саймонса, связанный с этим членом, находим окончательную форму нашего действия:

В такой записи подразумевается свертка индексов модуля Верма и тензора гаре.

Данное действие имеет несколько локальных калибровочных инвариантностей. Калибровочное поле А под действием струнной группы преобразуется как

Действие также обладает инвариантностью:

Окончательно наше действие может быть написано в виде (8.7.4); эта форма инвариантна относительно преобразований (8.7.5) и (8.7.6). Еще раз обратим внимание на то, что после того, как была подготовлена математическая база, вывод самого действия занял всего несколько строк, как и для общей теории относительности.

Подытожим теперь все, что мы узнали из одной лишь теории групп. Многие ее следствия объясняют странные особенности, найденные в формализме BRST:

(а) не является постоянным тензором группы Diff(S), что налагает жесткие ограничения на те инварианты, которые можно написать для

нашей теории. Это приводит к тому, что лоренцевские инварианты не имеют аналогов в полевой теории струн. Вот почему струнное действие отличается от обычных действий, найденных в калибровочной теории. Однако дираковское действие уст и форма Черны-Саймонса инвариантны относительно преобразований из USG.

(б) Действие, инвариантное относительно глобальных преобразований группы нельзя написать, пользуясь одними лишь скалярными полями. Это заставляет обратиться к высшим представлениям этой группы.

(в) Полный набор неприводимых представлений группы Diff(S) неизвестен. Однако мы обходимся знанием двух представлений: модуля Верма и струнного представления S. В частности, это объясняет странное появление поля , которое, как теперь видно, есть сумма приводимых представлений группы Diff(S).

(г) Таинственный духовый сектор струнной полевой теории BRST - это всего лишь касательное пространство геометрической теории. Более того, духовое поле Фаддеева-Попова, которое входит в формализм BRST через заднюю дверь, легко интерпретировать как коэффициент Клебша-Гордона для тензорного произведения . Таким образом, геометрический формализм объясняет странное появление духового поля, выполняющего в геометрическом подходе две функции: заполнение представления для V и обеспечение важнейшего коэффициента Клебша-Гордона, который присутствует в свободном действии.

(д) Одни лишь теоретико-групповые соображения приводят к двум свободным действиям, основанным на полях и которые инвариантны относительно глобальных преобразований группы Diff(S):

Эти выражения инвариантны относительно преобразований

Мы находим, что генератор группы Diff(S) в общем случае состоит из двух частей:

Руководствуясь нашим первым принципом, мы требуем, чтобы не имел центрального члена. Это требование объясняет, почему размерность пространства-времени равна 26.

(ж) Геометрический формализм объясняет, почему Это следует из того, что

или равняется нулю с точностью до члена, который исчезает при свертке с . Подобная ситуация имеет место в теории форм, где тождество появляется из-за того, что .

(з) Инвариантный относительно оператор устуст называется в формализме BRST «оператором духового числа». Здесь мы видим, что он является артефактом частного представления Diff(S), а не существенной особенностью теории. Действительно, его можно полностью устранить, принимая абстрактную формулировку тензорного произведения представлений Diff(S).

(и) Мера интегрирования, которую в формализме приходилось постулировать, в геометрическом формализме единственным образом определяется из второго геометрического принципа:

(к) Правило умножения которое в подходе BRST приходилось постулировать, есть не что иное, как калибровочно-фиксированный вариант умножения х, определенного в (8.4.27). В итоге в подходе BRST приходилось постулировать правила интегрирования и умножения. В геометрическом подходе правила умножения и интегрирования сами выводятся из фундаментальных принципов. Такая ситуация аналогична имеющейся в общей теории относительности, где одной общей ковариантности достаточно для того, чтобы определить правило умножения тензоров и правила интегрирования.

(л) В формализме BRST происхождение конформной инвариантности в двумерии не ясно. В нашем подходе двумерная конформная инвариантность возникает благодаря тому, что касательное пространство теории инвариантно относительно полной локальной группы Diff(S), которая генерируется всей совокупностью (Хотя касательное пространство преобразуется под действием полной группы, переменная X всегда преобразуется подгруппой

В формализме переход к полевой теории в калибровке светового конуса может быть осуществлен только на массовой поверхности. Но вводя тетраду и поля связности для мы можем выбрать калибровку светового конуса в лагранжиане вне массовой поверхности.

(н) Фундаментальным полем полевой теории струн является поле связности для струнной группы. Следовательно, оно должно преобразовываться как смешанный тензор в том же самом смысле, в котором поле связности в теории Янга-Миллса из-за одних лишь теоретико-групповых соображений должно преобразовываться как

(о) Основная причина, по которой струнная группа замыкается без использования параметризационной средней точки, состоит в том, что физические струны С имеют произвольные параметризационные Длины. Фактически две струнные теории BRST являются калибровочно-фиксированными

вариантами геометрической теории. Одна называется «калибровкой, склеивающей струны в средней точке» а другая - «калибровкой, склеивающей струны концами».

Наша следующая задача состоит в фиксации калибровки и устранении множества нежелательных полей. Локальная калибровочная инвариантность позволяет устранить в параметр всегда можно выбрать так, чтобы заменить на

Тогда, делая подстановку

получаем, что действие теперь записывается в виде

и оказывается инвариантным относительно преобразований

Наконец, мы всегда можем выбрать наше поле так, чтобы все струны имели одинаковые параметризационные длины. Тогда

В этот момент геометрическая теория оказывается сведенной к обычному формализму BRST. Фактически можно показать, что из наших двух аксиом при ковариантной фиксации калибровки и выделении средней параметризационной точки получаются пять аксиом формализма BRST. Более того, можно проверить, что редукционное поле равно сектору духового числа — 1/2 поля во всех порядках.