§ 6.6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ

Начнем наше обсуждение с выписывания -точечной амплитуды в формализме светового конуса. Эта амплитуда является прямым обобщением амплитуды, найденной в полевой теории точечной частицы в калибровке светового конуса [8]:

где

Здесь представляет входящий (выходящий) вектор состояния внешней струны, - времена взаимодействия, - компонента фурье-преобразования, необходимая для превращения данного выражения амплитуду на массовой поверхности, распределение импульса,

«размазанное по струне» (которое представляет произвольную совокупность высших резонансов).

Отметим, что с этой амплитудой связаны две проблемы, требующие, безотлагательного решения.

(1) Функция Неймана встречается только с поперечными импульсными возбуждениями. Мы должны показать, что полное выражение является лоренц-инвариантным, включая и продольные импульсные факторы.

(2) Переменные времени взаимодействия найденные в полевой теории струн, должны быть преобразованы в обычные переменные Кобы-Нильсена. Это требует якобиана, который в общем случае довольно сложен.

Займемся решением первой проблемы. Кажущаяся нерелятивистская форма амплитуды с поперечными и продольными факторами, встречающимися в совершенно различном виде, является, однако, иллюзией. Существует трюк, который превращает это выражение в лоренц-инвариантный интеграл. Дело в том, что переменная х является решением уравнения Лапласа с правильным граничным условием. Поэтому ее можно выразить через линейный интеграл по каждой внешней линии на бесконечности:

(Довольно странное тождество, выражающее х через нее же саму. Для его доказательства просто умножим обе части (2, 5, 6) на и выполним интегрирование по двумерной плоскости. Тщательно отбрасывая взаимно уничтожающиеся члены, интегрированием по частям получаем приведенное выше уравнение.) Итак, можно заменить переменную ее функцией Неймана и написать

Добавляя этот продольный вклад функции Неймана, содержащий к поперечному вкладу, содержащему мы получаем в результате общую инвариантность функции Неймана. Таким образом, члены вида представляют собой то, чего нам не хватало для восстановления ковариантности членов вида

Итак, первая задача установления лоренц-инвариантности интеграла оказалась тривиальным следствием теоремы единственности в электростатике. Вторая задача - превращение времен взаимодействия х, в переменные Кобы-Нильсена - так же просто решается использованием те ремы единственности.

Мы хотим вычислить якобиан

где обычные переменные Венециано на вещественной оси.

Выберем и теперь сравним этот якобиан с величиной

где

Отметим, что наш якобиан и эта величина, включающая производные конформного преобразования, обладают одной и той же аналитической структурой. Они оба имеют одинаковые сингулярности при совпадении различных и одинаковые граничные условия. Следовательно, они сами должны быть одинаковыми с точностью до числовых множителей. Чтобы вычислить эту константу, мы можем выбрать переменные далеко отстоящими друг от друга. Тогда

так что

(Добавим, что имеются также нетривиальные члены, включающие Детерминант лапласиана, определенный по четырехточечной конфигурации, и нулевые компоненты функций Неймана. Эти члены сокращаются с другом при внимательном изучении аналитической структуры их сингулярностей. Впервые их точное сокращение было продемонстрировано в [6] для четырехточечной функции. Сокращение в произвольном случае, включая петли, выполнено в [12].) Таким образом, мы свели якобиан к тривиальному множителю [10-12], представляющему произведение различных переменных Кобы-Нильсена. Объединяя все вместе, имеем

Если вместо произвольных внешних резонансов мы берем внещние тахионы, то находим

как и выше, т. е. восстанавливается -точечная амплитуда.