§ 9.5. ИНДЕКС ОПЕРАТОРА ДИРАКА

Теперь, когда мы перечислили некоторые важные свойства характеристических классов, покажем, что интегралы от характеристических классов приводят к элегантным теоремам об индексе. Одной из наиболее важных будет теорема об индексе оператора Дирака, определенном на спинорном многообразии. Другие инварианты на самом деле можно выразить в терминах индекса оператора Дирака. На -мерном спинорном многообразии можно задать уравнение Дирака

где матрицы Дирака (умноженные на тетраду). Изучим оператор заданный формулой (9.3.2), и его собственные значения:

Ядро оператора Дирака состоит по определению из тех решений, которые переводятся оператором в нуль, т.е. соответствуют нулевому собственному значению.

Для четномерных многообразий пространство спиноров делится пополам в зависимости от собственного значения оператора

Мы назовем такие решения решениями положительной и отрицательной киральности. Вообще говоря, для ненулевых собственных значений киральные решения всегда встречаются парами. Это связано с тем, что собственное значение имитирует массовый член в уравнении Дирака, а массивные фермионные состояния не могут быть расщеплены на два

вейлевских, которые всегда безмассовы. Но в случае нулевого собственного значения киральные решения не обязаны встречаться парами. Мы можем иметь неравное число положительных и отрицательных киральных состояний для фермионов с нулевым собственным значением.

Определим как число независимых решений положительной (отрицательной) киральности с нулевым собственным значением. Определим также индекс оператора Дирака как разность между числом независимых нулевых мод положительной и отрицательной киральности:

Необходимо отметить, что это число является топологическим числом, т. е. оно инвариантно относительно непрерывных преобразований многообразия, не меняющих его топологии. Индекс оператора Дирака является топологическим инвариантом, поскольку хотя после преобразования многообразия и происходит переход между фермионными состояниями с нулевым и ненулевым собственным значением, но только пары фермионов с ненулевым собственным значением могут переходить в состояния с нулевым собственным значением или возникать из них. Это связано с тем, что для того, чтобы стать массивным, каждое киральное состояние должно найти себе пару. Таким образом, изменение индекса происходит только за счет пар, но каждая пара дает нулевой вклад в индекс. Следовательно, индекс должен быть топологическим инвариантом (см. рис. 9.2). Например, если мы имеем пар фермионов, переходящих в состояние с нулевым собственным значением, то

Существуют различные способы записи индекса оператора Дирака. Поскольку ядро оператора определено как множество состояний, Которые он зануляет, можно также записать

где оператор Дирака расщеплен на части положительной и отрицательной

Рис. 9.2. Парное испускание или поглощение в основном состоянии. Фермионы могут переходить в основное состояние или покидать его только парами противоположной киральности. Таким образом, полная разность между поло жительными и отрицательными вакуумными киральными состояниями всегд остается неизменной. Эта постоянная называется индексом оператора Дирака.

киральности.

Другим способом записи формулы индекса является

Заметим, что каждое состояние положительной киральности дает вклад в сумму, в то время как каждое состояние отрицательной киральности дает вклад — 1, так что в результате суммирования получаем индекс оператора Дирака.

Хотя приведенная выше формула достаточно элегантна, она требует осторожной регуляризации. Заметим, что небрежное определение индекса приводит к бессмысленным результатам:

Поскольку сокращение происходит уровень за уровнем, неправильно суммировать сначала по всем положительным уровням и затем вычитать сумму по всем отрицательным уровням. Суммы по всем положительным или по всем отрицательным уровням являются бесконечными. Только их разность конечна и корректно определена.

Разумным способом регуляризации индекса оператора Дирака является введение множителя, позволяющего находить потенциально расходящиеся суммы по всем положительным и отрицательным уровням отдельно. При этом сумма будет функцией от параметра. Приведем одно простое выражение для регуляризованного индекса оператора Дирака:

Здесь Р - произвольное положительное число, квадрат оператора Дирака. Поскольку мы берем след, можно диагонализовать квадрат оператора Дирака и переписать след через собственные значения оператора

Поскольку ненулевые собственные значения соответствуют равному числу решений положительной и отрицательной киральности, они сокращаются, так как входят с различным и поэтому не дают вклада в сумму. Для нулевых собственных значений числа однако, необязательно соответствуют числам состояний положительной и отрицательной киральности, и, следовательно, получаем

Короче говоря, фермионы могут переходить в состояние с нулевым собственным значением и покидать его только киральными парами Фермионы с ненулевыми собственными значениями всегда встречаются парами, и поэтому их вклады в индекс взаимно сокращаются. Следовательно, их присутствие не влияет на разность между числом положительных и отрицательных киральных состояний. Таким образом, фермионные состояния с ненулевыми собственными значениями вообще не влияют на индекс.

Этот вопрос представляет не только академический интерес, поскольку имеет прямое отношение к аномалиям. Например, мы знаем, что киральный ток может быть записан как

Наивно можно ожидать, что этот ток сохраняется в силу уравнений движения. Ковариантная дивергенция (изотопические индексы опускаем) равна

Обычно это выражение в точности равно нулю, поскольку Однако мы должны быть осторожны при учете вклада вакуумного среднего от дивергенции тока, которое, вообще говоря, может быть ненулевым. Определим

и вычислим значение вакуумного среднего значения дивергенции тока. Получаем

Последнее выражение, содержащее не имеет смысла до тех пор» пока мы не регуляризуем интеграл. Этого следовало ожидать, поскольку ранее мы видели, что треугольный граф расходился и требовал осторожной регуляризации.

Один из стандартных методов регуляризации называется методом ядра теплопроводности. Он заключается во введении сходяшегося

множителя в выражение

где след берется по спинорам, так что выражение становится конечным (для положительных ).

Заметим, что выражение для аномального члена в (9.5.16) в точности совпадает с определением индекса оператора Дирака. Таким образом, установили прямую связь между индексом оператора Дирака и иесохранением аксиального тока.

Вообще говоря, след может быть вычислен явно. В конце этой главы мы покажем, что использование суперсимметрии позволяет дать наиболее простое и самое красивое доказательство теоремы Атьи-Зингера об индексе, что позволит нам вывести все известные теоремы об индексе в одну строчку.

Вычисляя этот след для произвольного спинорного многообразия и используя (9.4.19), (9.4.26), находим

где размерность пространства-времени кратна четырем. В четырех измерениях имеем

В случае заданной фоновой метрики для взаимодействия спинора с полем Янга-Миллса индекс становится интегралом от произведения Двух множителей - рода А, происходящего из гравитационной части, и члена, происходящего из калибровочной части:

Заметим, что эта формула определена для четных размерностей, не обязательно кратных четырем. Для имеем

Для имеем

Для интересующего нас случая шести измерений имеем