§ 6.5. МЕТОД ФУНКЦИЙ НЕЙМАНА

В гл. 2 мы убедились в возможности вычисления функционального интеграла по диску с ручками:

Здесь - функция Неймана между точками и на краях диска или верхней полуплоскости с ручками, включает все члены меры.

Недостаток этого подхода, однако, заключается в том, что функциональный интеграл определяется на диске или в верхней полуплоскости, в то время как струнная интерпретация конформного диска неясна. Для того чтобы найти связь между струнным подходом и конформным диском, сначала сделаем конформное преобразование Такое конформное преобразование превращает верхнюю -полуплоскость в горизонтальную полосу -плоскости шириной Эта горизонтальная полоса в свою очередь может быть интерпретирована как поверхность, заметаемая одной свободной струной. Мы стремимся обобщить это преобразование на -точечную функцию.

Мы следуем Манделстаму [8] и делаем следующее конформное преобразование верхней полуплоскости:

где параметризационная длина каждой струны есть Это конформное преобразование растягивают верхнюю полуплоскость в длинные горизонтальные полосы, которые соответствуют движению расщепляющихся струн.

Аналитически на качественном уровне мы можем видеть, что это преобразование отображает верхнюю полуплоскость в правильную диаграмму в калибровке светового конуса. Отправим нашу переменную на положительную бесконечность и затем начнем медленно двигать налево. Когда мы приближаемся к одной из сингулярностей, лежаших вещественной оси, быстро уходит в отрицательную бесконечность, мы проходим над сингулярностью в результате чего логарифм приобретает мнимую часть:

Таким образом, мы перепрыгиваем в -плоскости вертикально вверх на Это соответствует движению от начала с струны длины к ее концу на бесконечности. Если мы продолжаем движение в -плоскости влево, то точка в -плоскости начинает двигаться вправо (оставаясь решенной на расстояние вверх).

Когда мы подходим к следующей сингулярности в точке на вещественной оси, происходит нечто странное. Движение переменной -плоскости начинает замедляться, в определенной точке она вообще может остановиться, а затем начать движение в обратном направлении, т.е. двинуться влево в комплексной плоскости к отрицательной бесконечности. Точку поворота в -плоскости можно найти, взяв производную и решив относительно следующее уравнение:

Когда мы достигаем в -плоскости точка в -плоскости устремляется в отрицательную бесконечность. Проход над сингулярностью в точке приводит к сдвигу в -плоскости на еще один отрезок вертикально вверх. Осторожно двигаясь таким образом по вещественной оси в -плоскости, мы очерчиваем струнную конфигурацию в калибровке светового конуса, показанную на рис. 6.4.

К счастью, из (2.5.7) известно, что функция Неймана в верхней полуплоскости есть сумма двух логарифмов. Далее мы хотим разложить эту же самую функцию Неймана в степенной ряд по переменным, определенным в -плоскости. Для свободной струны, например, можно выбрать координату для направления и координату для направления а. Тогда

Теперь разложение функции Неймана по переменным получается без труда:

Доказательство того, что это выражение воспроизводит функцию Неймана, достаточно просто. Во-первых, отметим, что -производная функции на концах струны равна нулю, в соответствии с тем, что 0 на концах струны. Во-вторых, результат действия оператора это разложение равен нулю всюду, кроме точки Член , выделяющий максимум из двух значений, дает правильную асимптотику при Следовательно, в силу единственности такое Чжение должно быть правильным.

Решение для функции Неймана взаимодействующей струны получается таким же способом. Сначала предположим, что функция Неймана

Рис. 6.4. Параметризация -точечной функции. Входящие (выходящие) стороны имеют положительные (отрицательные) параметризационные длины. Изменением длины внутренних горизонтальных линий мы создаем различные графы полевой теории, которые суммируются в дуальную амплитуду.

имеет вид [8]

где можно определить локальные координаты прямо на струне с номером

для , а константу можно выбрать так, чтобы координаты отсчитывались от ближайшей точки поворота. Здесь штрих у суммы означает отсутствие члена Доказательство правильности этого выражения проводится аналогично. Отметим, что первые два члена в правой части уравнения являются просто членами, обусловленными свободной струной, которые гарантируют выполнение уравнения Остальные члены представляют собой не что иное, как решение уравнения Лапласа, разложенное по Следовательно, данное выражение служит решением уравнений Пуассона. Поэтому» с учетом единственности функции Неймана, оно является правильным.

Важно отметить, что до сих пор не было сделано ничего нового. Мы просто переписали функцию Неймана как фурье-разложение в различных струнных координатах. Важнейшие коэффициенты которые непосредственно появятся в трехструнной вершине, в свою очередь могут быть точно вычислены, поскольку мы знаем форму функции Неймана в верхней полуплоскости, представляющую собой сумму логарифмов. Таким образом, можно делать различные фурье-преобразования этой известной функции Неймана, определенной в верхней полуплоскости, и найти фурье-коэффициенты Мы обращаем предыдущее уравнение и теперь решаем его для коэффициентов Неймана.

для фурье-преобразование разложения (6.5.5), приходим к [6]

Подставляя в это выражение функцию Неймана, определенную в верхней полуплоскости, и делая подходящее преобразование переменных, мы получаем точную формулу для коэффициентов Неймана.

Теперь, имея явные выражения для фурье-компонент функции Нейрина, рассмотрим случай трех струн. Преобразование верхней полуплоскости в трехструнную конфигурацию есть просто

Точку поворота для такого отображения можно вычислить, беря производную

Отсюда момент времени, в который происходит расщепление струны, равен

Замечательной особенностью отображения (6.5.9) является наличие обратного, выражающего через Это позволяет вычислить все функции Неймана быстрее, не прибегая к абстрактным выражениям типа (6.5.8).

Мы начнем обсуждение процедуры вычисления коэффициентов Неймана с задания координат на трех различных струнах. Например, определим координату на третьей струне:

Деление на обеспечивает изменение параметра только от 0 до . В этих новых переменных отображение (6.5.9) можно написать так:

Если ввести новые переменные

то отображение (6.5.9) сведется к

К счастью, это уравнение можно решить, если искать решение в виде степенного ряда

Подставляя (6.5.18) в (6.5.17), находим явную форму для

Обратно подставляя наши выражения для и в (6.5.13), находим

Теперь сравним это уравнение с (6.5.6), устремляя переменную к нулю. В этом пределе имеем

Сравнивая последние два выражения, мы видим, что пропорциональна

Такой же анализ может быть выполнен и для других струн. В конечном счете мы выразим все коэффициенты Неймана через Окончательный результат есть [8]

где

На первый взгляд мы видим громадную разницу между функциями выведенными из вторично квантованного действия в (6.4.24), и функциями Неймана в (6.5.22), полученными путем конформных преобразований.

Первый вариант матрицы определяется из условия перекрытия струн, ее второй вариант выражается через неймановские функции на «ямановой поверхности.

Чудесным образом, однако, оказывается, что они совпадают [6, 9]:

Таким образом, хотя эти два вывода сначала представлялись совершенно непохожими, в конечном счете мы обнаруживаем их полную эквивалентность. (Фактическое доказательство того, что коэффициенты Неймана, найденные в полевой теории (6.4.24), и коэффициенты, полученные в первично квантованной теории, совпадают, можно провести двумя способами. В первом мы используем хорошо известную теорему единственности решения уравнения Пуассона с заданным граничным условием. Можно показать, что обе функции Неймана являются решениями уравнения Пуассона и оказываются непрерывными при когда происходит расщепление струн. Поэтому, несмотря на громадную разницу в способах появления этих функций, они на самом деле одинаковы. Их эквивалентность тем не менее может быть показана также с помощью второго подхода, опирающегося на «грубую силу». Доказательство требует манипуляций сложными выражениями посредством тождества (6.5.8) [6]. Детали этого вычисления, однако, очень утомительны и здесь представлены не будут.)

Следующим шагом будет доказательство того, что полевая теория струн в калибровке светового конуса воспроизводит модель Венециано.