§ 10.7. ГРУППА Е8 И АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ

Ранее мы видели, что спектр состояний не обладал явной -инвариантностью. С трудом нам удалось показать, что низшие состояния могут быть помещены в неприводимые представления этой группы. Поскольку число состояний быстро возрастает до десятков миллионов, становится затруднительным сгруппировать состояния в мультиплеты группы

В этом разделе мы используем развитую в гл. 4 технику алгебр Каца-Муди [8-10] для того, чтобы показать для всех порядков, что спектр гетеротической струны в действительности обладает симметрией Мы будем использовать определенные в гл. 4 вертексные операторы для генерирования представления алгебры Каца-Муди (что возможно, только если решетка четная и автодуальная, а алгебра имеет уровень 1).

В алгебре мы хотим выбрать базис Шевалле, в котором 496 генераторов разбиты на 16 взаимно коммутирующих генераторов (образующих картановскую подалгебру) и 480 генераторов, соответствующих корневым векторам. Заметим, что 16 генераторов удовлетворяют Условию

Взаимно коммутирующие генераторы всегда могут быть выбраны 8 качестве базиса картановской подалгебры. Однако построение остальных 480 генераторов более сложно.

Простейшим оператором, имеющим 480 состояний, является вертексный оператор, который можно записать в виде следующего интеграла по замкнутому контуру, окружающему начало координат:

Здесь вершинная функция V определена на решетке (а не на

пространстве-времени):

причем

а коцикл пока не конкретизирован. Отметим, что векторы по определению задают 480 направлений на 16-мерной корневой решетке.

Теперь мы потребуем, чтобы 16 элементов картановской подалгебры и 480 генераторов сопоставляемых корням удовлетворяли коммутационным соотношениям группы Это в свою очередь позволит определить оператор С. Попробуем

и

где — структурные константы алгебры со значениями ±1.

В некотором смысле мы еще ничего не сделали. Мы просто переписали коммутаторы алгебры в хорошо известном базисе Шевалле и потребовали, чтобы наш анзац для удовлетворял им. Нетривиальным является то, что решение этих уравнений действительно существует, и это фиксирует вид С.

Давайте опустим множитель С и посмотрим, сможем ли мы удовлетворить коммутационным соотношениям. Нетрудно показать, что при выполняется равенство

Отсюда следует, что

где интегрирование выполняется так, что в первом члене и во втором члене. Внимательно рассматривая последнее выражение, находим, что мы удовлетворили всем тождествам базиса Шевалле, только статистика оказалась нарушенной. Вместо коммутаторов возникают антикоммутаторы. Именно поэтому мы и должны ввести множитель Условие, которое необходимо наложить на

имеет вид

Опрератор называется «коциклом» или «твистом». Он был введен определение генератора для получения правильной статистики. Действуя оператором на состояния с импульсом можно показать, что

Если мы потребуем ассоциативности закона умножения (10.7.9), то получим ограничения на фазы Действуя последовательно операторами С на состояния и требуя ассоциативности умножения, легко получаем

Мы назовем (10.7.11) условиями два-коцикла. Существует несколько явных представлений для и фазы Всегда можно выбрать

В приложении показано, что генераторы алгебр Ли могут быть выражены через генераторы Я, картановской подалгебры и генераторы соответствующие корням а. Теперь мы видим точное соответствие между операторами, появляющимися в теории гетеротических струн, и генераторами групп Ли:

Для завершения доказательства остается только заметить, что 16 генераторов и 480 генераторов дают все вершины теории (см., например, (10.5.6), (10.5.7)), и поэтому фоковское пространство образовано состояниями, получаемыми действием этих операторов на вакуум. Но поскольку эти генераторы вместе дают 496 генераторов группы весь спектр состояний должен быть перегруппирован в сумму неприводимых представлений группы