§ 6.8. ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СУПЕРСТРУН

И NS-R-действие, и GS-действие оказывается возможным выразить как вторично квантованную теорию в формализме светового конуса [13]. При этом возникают новые особенности:

(1) Полевой функционал Ф теперь является и функционалом от спинорных полей, которые можно рассматривать как преобразующиеся по представлению 8 группы или группы

(2) В теории имеются генераторы суперсимметрии, преобразующие бозонные члены взаимодействия в действии в фермионные. Это налагает сильные ограничения на возможные взаимодействия.

(3) В отличие от бозонной теории, мы должны добавить специальную вставку в точку расщепления струн. Без этого вставочного члена теория не является ни суперсимметричной, ни лоренц-инвариантной.

Обсудим GS-действие в формализме светового конуса, поскольку оно является явно суперсимметричным. Первично квантованное действие в калибровке светового конуса определяется формулой (3.8.3):

Здесь -восьмикомпонентные спиноры пространства представления и одновременно спиноры с двумя компонентами в двумерном пространстве. Напомним, что в 10-ти измерениях дираковский спинор комплексных компоненты, майорановский 32 вещественных компоненты, майорано-вейлевский 16 вещественных компонент, и в калибровке светового конуса спинор имеет 8 вещественных компонент, преобразующихся по представлению

Проблема квантования такого действия заключается в самосопряженности фермионного поля. Сопряженные импульсы определяются

уравнением

Таким образом,

Эти поля являются самосопряженными, и перестановочные соотношения не имеют канонической формы. Фермионные поля образуют алгебру Клиффорда, тогда как мы предпочли бы иметь грассмановы состояния без дельта-функции в правой части (6.8.3). Простейший выход из этой ситуации состоит в разбиении состояний спинора на состояния таким образом, что один ряд из четырех состояний является сопряженным к другому. Один из таких способов использует подгруппу группы

При таком разложении представление 8 группы разбивается так:

Теперь восемь компонент спинора разложим в виде

А и В изменяются от 1 до 4. Мы используем обозначения

Приняв эти новые определения, мы имеем новые независимые переменные 0, которые все взаимно антикоммутируют без какой-либо дельта-функции, как в (6.8.3). Желаемые антикоммутационные соотношения этих переменных с канонически сопряженными суть

В процессе редукции дираковского спинора с 32 комплексными компонентами имеется множество ступеней, поэтому подведем итог тому, каким образом мы пришли только к четырем независимым состояниям:

Дирак комплексных компоненты,

Майорана вещественных компоненты,

Майорана-Вейль вещественных компонент,

Световой конус вещественных компонент,

Канонический вещественных компоненты.

Разложив спиноры в соответствии с подгруппой группы

мы должны провести такое же разложение для векторов по этой подгруппе. Разобьем векторы где следующим образом:

где

Окончательно, действие свободной теории имеет вид

где независимый набор переменных интегрирования есть

и где Ф - поля открытых струн, поля замкнутых струн.

Наш основной полевой функционал определяется теперь (мы приписали полю изоспиновые индексы) формулой

где роль переменной а чисто символическая. Она была добавлена для того, чтобы показать, как поле преобразуется под действием твиста.

Следуя соотношениям (6.3.44), полученным для бозонного случая, можно построить канонические соотношения квантования:

где

Сейчас, когда мы сформулировали свободную теорию суперструн, займемся трудной задачей построения вершин взаимодействия для суперструн. Мы обнаружим несколько сложностей:

(1) Теперь будут не один, а два набора осцилляторов и раздельные условия непрерывности, возникающие из перекрывающихся дельта-функций. К счастью, два набора осцилляторов коммутируют друг с другом и не смешиваются.

(2) Возникнут дополнительные члены, определенные в точке соединения трех струн. Вообще говоря, на струне нельзя ввести дополнительные поля, так как они нарушат лоренц-инвариантность и конформную инвариантность. Тем не менее поля можно разместить точно в той точке, в которой струна разрывается. При этом следует проявлять осторожность из-за сингулярностей, существующих в этой точке. Сильнейшим ограничением будет суперсимметрия, которая полностью определит природу этих вставок в точках разрыва.

Мы начинаем обсуждение вершинной функции с постулирования формы, которую она примет. Основываясь на аналогии с бозонным случаем, мы принимаем без доказательств, что суперструнная вершина должна иметь вид

где - поля-вставки в точке разрыва, а - обычный бозонный член найденный в (6.4.23),

причем Мы предполагаем, чисто по аналогии с бозонной теорией, что фермионная часть должна быть квадратична по операторам рождения. Выберем следующее разложение:

где

причем о матрицах и К совершенно ничего неизвестно,

Для такой формы (6.8.18) не существует никакого другого обоснования, кроме того, что она удовлетворяет основным граничным условиям, которые мы сейчас наложим. Потребуем выполнения условий

Здесь равно для входящей (выходящей) струны, и тильда обозначает второй осциллятор. Эти условия, будучи написанными

в фурье-модах, имеют сходство с условиями, найденными из сохранения импульса. В частности, мы обобщаем (6.4.17):

Мы также налагаем условия непрерывности

Эти условия непрерывности требуют, в свою очередь, выполнения следующих условий на фурье-моды:

Теперь у нас имеется достаточно условий для нахождения матриц После трудоемких вычислений получаем

Далее мы хотим построить суперсимметричные операторы нашей теории, основываясь на опыте с генераторами свободной суперсимметричной теории. Обозначим суперсимметричные генераторы первично квантованной теории через Тогда вторично квантованные суперсимметричные генераторы связываются с на свободном уровне посредством

Канонические условия квантования (6.8.14) гарантируют, что если генераторы образуют алгебру, то также должны образовывать ее. В частности, первично квантованные подчиняются коммутационным соотношениям

Возникает желание построить вторично квантованный вариант этих соотношений. В частности, взаимодействующая часть вторично квантованного генератора имеет вид

Подставив теперь выражение для вторично квантованных генераторов в коммутационные соотношения, получим ряд слагаемых, сумма которых должна обращаться в нуль. В нулевом порядке по константе связи выполнение этого условия гарантируется, поскольку удовлетворяют соотношениям суперсимметрии. Однако члены, линейные по константе связи, содержат как свободные так и взаимодействующие В частности, находим

Для решения этих уравнений примем, что имеют общую форму

Итак, мы собрали внушительный аппарат, по большей части построенный из предположений и аналогий с бозонным случаем. Теперь необходимо сделать еще одно предположение о структуре функций и У» появляющихся в (6.8.16) и (6.8.28). На эти две последние функций обязательно имеются ограничения, поскольку они не должны нарушать наложенных нами условий на фурье-моды. Следовательно, они должны коммутировать или антикоммутировать с условиями непрерывности. Оказывается, что эти требования однозначно определяют и

Наконец, приведем наш аппарат в действие. Коммутационные соотношения суперсимметрии должны генерировать С помощью «грубой

силы» находим

Имея окончательное выражение для вершинных функций, удовлетворяющих условиям суперсимметрии, попытаемся переписать функции Как отмечалось выше, эти функции выбирались так, чтобы они коммутировали или антикоммутировали с условиями непрерывности. Поэтому мы подозреваем, что они в действительности обращаются в нуль всюду, кроме точки разрыва трех струн. Мы должны тщательно рассмотреть предел при приближении к точке разрыва, так как в ней функции легко могут оказаться расходящимися. В результате такого анализа мы можем переписать и в виде

Наиболее важно здесь то, что обе функции локальны на струне, т. е. отличны от нуля только в точке соединения струн. Таким образом, мы обошлись без нелокальностей, присутствие которых испортило бы лоренц-инвариантность.