§ 5.12. РЕЗЮМЕ

Итак, мы показали, что приведение струны к унитарному виду может быть реализовано посредством уравнения унитарности, в котором -точечная амплитуда фигурирует в качестве борновского члена:

Континуальный интеграл при этом принимает вид

Здесь проводится суммирование по всем конформно неэквивалентным поверхностям являющимся дисками или сферами с отверстиями. В частности, диаграммы для открытых струн бывают трех типов: плоские, неплоские и неориентируемые (вроде листа Мёбиуса). Диаграммы для замкнутых струн бывают только двух типов - плоские и неориентируемые (вроде бутылки Клейна).

К счастью, математики уже вычислили функции Неймана для этих поверхностей. Это частные случаи автоморфных функций.

Для однопетлевой диаграммы функция Неймана выражается через

Собирая все вместе, получаем однопетлевую плоскую амплитуду

Мы нашли, что у струнных диаграмм никогда не бывает ультрафиолетовых расходимостей. Бесконечное суммирование по промежуточным реджевским траекториям делает диаграммы финитными в ультрафиолетовой области. Однако в теории фейнмановских диаграмм расходимость некой диаграммы выражается локальным изменением топологии этой поверхности. Однопетлевая диаграмма открытой струны расходится, когда внутреннее отверстие стягивается в точку. Согласно конформной инвариантности, это соответствует удалению замкнутой петли с нулевым импульсом. Тем самым расходимостям соответствует испускание в вакуум тахиона или дилатона.

Структура расходимостей этих диаграмм следующая.

(1) Открытая струна Намбу-Гото расходится как Последняя из этих расходимостей связана с дилатоном и, вероятно, может быть устранена перенормировкой угла наклона реджевской траектории во всех порядках. Тахионная расходимость вызывает большие трудности. При анализе непланарных графов в комплексной плоскости переменных и на этих диаграммах на самом деле появляются разрезы, которые сводятся к полюсам в 26-мерии. Эти полюсы соответствуют замкнутым струнам. Поэтому теория открытых струн сама по себе неполна. Замкнутые струны возникают в ней как «связанные состояния» на однопетлевом уровне.

(2) Амплитуды замкнутых струн расходятся из-за вставок «головастиков», или энергии самодействия, на внешних линиях, лежащих на массовой поверхности.

(3) Суперструна типа I имеет лишь полюсы порядка и поэтому мы можем устранить эту расходимость посредством перенормировки угла наклона. Расходимость порядка никогда не возникает, поскольку бозонные и фермионные внутренние линии взаимно уничтожаются.

(4) Суперструна типа II на самом деле конечна. Здесь отсутствуют двух- и трехточечные однопетлевые диаграммы, поэтому вставки головастиков или энергий самодействия на внешних линиях попросту запрещены.

Эти результаты легко обобщаются на -петлевые амплитуды с использованием теории автоморфных функций. При этом можно применять несколько разных параметризаций. Первая из них дается методом группы Шоттки. Она обладает тем преимуществом, что выбор переменных осуществляется в явном виде и выводится явно факторизуемым образом посредством сшивания мультиреджевских вершин. Однако модулярная инвариантность при этом не столь очевидна. Другой спосо параметризации дается методом тэта-функции. В нем модулярная инвариантность встроена с самого начала. Он также легко обобщается и спиновые структуры. Недостатком этого метода является неочевидност выбора переменных. К тому же факторизация, а значит, и унитарное тоже неочевидны. Эти амплитуды просто постулируются вручную с целью удовлетворить граничные условия, а не строятся

сшиванием вершин. В конечном счете эти методы, возможно, тождественны.

Начнем с комплексной плоскости, в которой произвольным образом вырезано отверстий. Объединим эти отверстия в пар и пометим их символами . Эти отверстия назовем -циклами. Сделав разрезы вдоль линий, соединяющих между собой каждую пару -циклов, получим -циклы. Определим проективные операторы отображающие один из -циклов в соответствующий ему -цикл Теперь эти проективные операторы можно параметризовать двумя неподвижными точками и множителем X, таким что

Для открытой струны центры -циклов лежат на вещественной оси, так же как и неподвижные точки проективных преобразований. Окончательно -петлевая амплитуда открытой струны дается выражением

где

Здесь латинскими буквами обозначены внешние линии, а греческими - петли. Заметим, что область интегрирования лежит между предельными Очками множества Необходимо, чтобы эти предельные точки образовывали дискретную область на вещественной оси. Итак, нам необходимы группы Шоттки.

N-петлевую амплитуду можно непосредственно переформулировать на языке римановых поверхностей, если вместо действия Намбу-Гото воспользоваться действием Полякова. В интеграл войдут несколько новых членов:

(1) Множитель возникающий из детерминанта Фаддеева-Попова, который можно переписать в виде

(2) Множитель, возникающий из интегрирования по переменной X:

Здесь

(3) В интеграл нужно добавить параметры Тейхмюллера Чтобы вычислить этот последний фактор, запишем

где - параметры Тейхмюллера, a

Это можно записать в виде

где

Произведем замену переменных:

где

Наш окончательный результат для меры таков:

Огромное преимущество этого подхода к многопетлевым амплитудам состоит в том, что мы можем использовать мощь методов анализа римановых поверхностей для исследования расходимостей

амплитуды. В частности, мы можем исследовать особенности дзета-фудкдии Сельберга:

Исследование функций Сельберга подтверждает вывод о том, что наша мера имеет особенности в тех точках, в которых топология поверхности рода вырождается.

К счастью, построение меры на многопетлевых поверхностях очень доьно облегчается теоремой о голоморфной факторизации, которая утверждает, что мера равна

где - голоморфная -форма. Эта формула станет интуитивно понятной, если считать равными вклады мод, движущихся налево и направо (кроме нулевых мод.) Единственная трудность доказательства заключается в наличии некой аномалии (называемой аналитической аномалией), исчезающей в 26-мерном случае. Используя этот результат, мы можем, в сущности, угадать ответ для подынтегрального выражения, отвечающего многопетлевой амплитуде, поскольку функция с правильной периодичностью и структурой голоморфных особенностей должна быть единственной.

Другой метод, основанный на тэта-функциях, использует модулярность этих периодических функций с самого начала. Для поверхностей рода имеется спиновых структур, соответствующих всем возможным периодическим и антипериодическим граничным условиям на этой поверхности. Наша задача тем самым состоит в том, чтобы построить функции Неймана на этой поверхности со спиновой структурой, обладающие нужными особенностями и периодичностью: Ответ выражен в виде двух функций, а именно обобщенной тэта-функции и простой формы. Тэта-функция дается выражением

где а представляет спиновую структуру, а простая форма (которая является голоморфным обобщением выражения отвечающего сфере) дается выражением

где

Располагая тэта-функцией и простой формой, мы можем вычислить все возможные функции Грина для бозонных и фермионных операторов на

римановых поверхностях. Поэтому мы можем построить новую конформную теорию поля на римановых поверхностях, а не просто сфере. Например, двухточечная функция двух фермионов дается ядром Сеге:

Одна из трудностей решения многопетлевой задачи состоит в выборе правильных переменных. Идеальным был бы, например, выбор в качестве переменной матрицы периодов Трудность, однако, состоит в том, что у квадратной матрицы, такой как матрица периодов, есть независимых координат, тогда как число параметров Тейхмюллера равно всего лишь комплексных чисел. В двух- и трехпетлевом случае эти числа совпадают, но для высших петель это не так. В этом и состоит проблема Шоттки, которая была решена лишь недавно. Ее решение позволило использовать грассманианы для описания всего ряда теории возмущений. Каждая многопетлевая амплитуда со спиновой структурой представляет одну точку грассманова многообразия, так что мы можем (по крайней мере, в принципе) манипулировать всем рядом теории возмущений на римановых поверхностях как единым объектом. Это, в свою очередь, может в конечном счете дать нам непертурбативную информацию о теории суперструн.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)