§ 2.7. ПРОЕКТИВНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И ТВИСТЫ

В дополнение к циклической симметрии мы утверждаем, что подынтегральное выражение -точечной функции является инвариантным относительно преобразований Мёбиуса, т. е. функция останется той же самой, если сделать следующую замену переменных:

где

Мы продемонстрировали эту инвариантность в функциональном формализме. Теперь непосредственно сделаем это преобразование Мёбиуса Для матричных элементов гармонических осцилляторов:

Как мы видели выше, этот множитель можно сделать равным единице изменением меры:

Оказывается, что можно действительно вычислить генератор таких инфинитезимальных преобразований вертексной функции. Нас не должно удивлять, что генератором этих преобразований Мёбиуса оказывается совокупность генераторов Вирасоро. Определим

Тогда

Мы будем говорить, что конформный вес вертекса V равен (Конформный вес будет играть важную роль в доказательстве того факта, что струнная модель свободна от духов. В гл. 4 мы объясним происхождение конформного веса, который помечает неприводимые представления конформной группы, порождаемой элементами алгебры Вирасоро. Чтобы вертексная функция была правильно определена, она должна иметь вес 1 на массовой поверхности, что справедливо для тахиона.)

Ясно, что порождают конформные преобразования, действуя на вертексные функции. В самом деле, можно показать, что конкретное представление алгебры Вирасоро на конформных полях дается выражением

Это представление удовлетворяет определению конформной алгебры (2.2.27) (за вычетом центрального члена) и порождает конформные преобразования функций комплексной переменной

Нас интересует подгруппа конформных преобразований, отображающих верхнюю полуплоскость на себя и вещественную ось на себя, т. е. проективная подгруппа. Эта подгруппа порождается только тремя элементами которые образуют

Легко вычислить преобразование вертексной функции, индуцированное этими генераторами:

Если служит элементом группы то мы также имеем

(На первый взгляд это может показаться удивительным, потому что нам известно, что реальные состояния уничтожаются элементом при положительных, а не при отрицательных значениях Однако 10; 0) не является реальным состоянием. Оно уничтожается элементом потому что

вследствие равенства Итак, соответствует истинному вакууму группы который не является реальным состоянием теории. Когда мы умножим на то оно станет реальным состоянием (поскольку подчиняется коммутационным соотношениям с ) и будет уничтожаться элементом для положительных Собрав все вместе, получим

что воспроизводит (2.7.3).

Кроме калибровочной группы Вирасоро, есть еще одна особенность теории струн, полностью отсутствующая в случае точечных частиц. Эта особенность - оператор твиста. Вспомним, что струна заметает двумерную мировую поверхность, а не просто одну линию. Поэтому если бы нам нужно было «перекрутить» мировую поверхность, то струна стала бы заметать топологически неэквивалентную мировую поверхность. На однопетлевом уровне, например, это решающее топологическое отличие Диска с дыркой от листа Мёбиуса.

Простое выражение для оператора твиста можно вывести из следующего наблюдения: вертексная функция, расположенная на вещественной оси, должна превратиться в вертексную функцию, расположенную на верхней границе полоски. Это дает

Заметим, что единственное изменение вертексной функции при этом

преобразовании - то, что каждый осциллятор, находящийся на уровне умножается на Поэтому оператор твиста должен иметь вид

где

Заметим, что он удовлетворяет тому соотношению, которому он должен по смыслу удовлетворять:

Это определяет оператор твиста с точностью до знака. Однако поскольку четных состояний четны относительно зарядового сопряжения, а нечетных состояний нечетны относительно С, то это фиксирует значение выбранное в этом выражении.

Существует эквивалентный метод вывода формы оператора твиста. Заметим, что действие оператора твиста на дерево будет состоять в обращении ориентации внешних линий (см. рис. 2.8):

Видим, что циклическое упорядочение дерева оказалось обращено применением оператора твиста. Чтобы извлечь оператор, выполняющий это обращение, сначала запишем данное выражение через переменные у:

Здесь мы перешли к пределу

В этой записи становится очевидным, что можно обратить циклическое упорядочение амплитуды и поменять местами заменой переменных

Рис. 2.8. Действие оператора твиста. Оно равносильно перевороту всей диаграммы вверх ногами, но в силу дуальности мы всегда можем переписать диаграмму, вернув ее к исходной конфигурации (с перенумерованными внешними линиями).

Теперь выпишем оператор, осуществляющий такую замену переменных. Выше были приведены генераторы группы , дающей проективное преобразование вертексной функции. Изучив эту замену переменных, мы легко находим, что оператор твиста должен даваться выражением

Хотя эти две формы оператора твиста кажутся совершенно различными, они на самом деле совпадают на массовой поверхности. Поскольку амплитуда Венециано определена строго на массовой поверхности, мы можем свободно выбирать любую из этих двух форм оператора твиста.