§ 3.5. КВАНТОВАНИЕ

Квантование действия NS-R является непосредственным обобщением квантования бозонной струны. Особенность суперструны - то, что действие содержащее многочисленные взаимодействия, дает свободную теорию после выбора калибровки.

Снова мы будем пользоваться теми же тремя методами: (1) Гупты-Блейлера, (2) формализмом светового конуса, (3) BRST.

Квантование Гупты-Блейлера

формализм Гупты-Блейлера является простейшим из трех, и в действительности именно в нем мы работали выше. Используя обширный набор симметрий модели, мы можем выбрать конформную калибровку.

Заметим, что в этой калибровке действие сводится к тому, которым мы пользовались выше, с наложенными условиями

для положительных Итак, мы квантовали действие NS-R в формализме Гупты-Блейлера.

Квантование в переменных светового конуса

Сущность формализма светового конуса состоит в том, что мы устраняем все нефизические духовые состояния, решая уравнения связей (3.4.11) и (3.4.12) явным образом в терминах поперечных или физических мод, вместо того чтобы налагать их на состояния. Мы можем наложить следующие условия:

Большинство генераторов изменились лишь незначительно. Реальное отличие наблюдается в «минусовых» компонентах полей, содержащих поперечные компоненты конформных генераторов:

где первый член справа относится к бозонному генератору, который мы Вычислили ранее в (2.3.16), и

Трудности возникают с тем лоренцевым генератором, который

содержит две минусовые компоненты:

Находим, наконец, что

где

Итак, лоренц-инвариантность достигается лишь при

Квантование BRST

Квантование BRST начинается с вычисления детерминанта Фаддеева-Попова, связанного с конформной калибровкой. Из-за обширного набора симметрий действия мы можем наложить связи

Как и прежде, мы должны проанализировать связи, проварьировав поля, входящие в (3.4.5) и (3.4.7):

Детерминант Фаддеева-Попова (1.6.10), связанный с калибровочной связью, снова дается формулой

(Поле не дает вклада в духовый детерминант Фаддеева-Попова.) Поэтому детерминант Фаддеева-Попова, связанный с антикоммутирующим сектором, есть

Проанализировать это выражение довольно сложно из-за большого числа степеней свободы, которыми обладает являющийся одновременно двумерным спинором и двумерным вектором и поэтому имеющий четыре компоненты.

Как и прежде, простейший способ вычислить определитель

оператора - выразить его через экспоненту от действия:

где теперь духовые поля суть коммутирующие переменные. (Хотя это действие выглядит похожим на найденное ранее для бозонной струны духовое действие (2.4.4), существенно указать, что новые духовые поля преобразуются конформной группой иначе, чем духи и с, потому что они были выведены из вариаций спинора а не тензора Мы подробнее обсудим это в следующей главе.)

Полное действие, тем самым, является теперь суммой исходного действия и суммы по антикоммутирующим духам с и коммутирующим духам .

Мы легко можем вычислить тензор энергии-импульса и супер-симметричный ток для суперконформных духов. Взяв их моменты, мы получим алгебру супер-Вирасоро:

Аналогично, объединенное действие, включающее вклад духов, по-прежнему инвариантно относительно нильпотентного преобразования. Генератор этого нильпотентного преобразования дается оператором где [14-16]

Здесь генераторы, зависящие только от осцилляторов Если положить мы приходим к равенствам

Условие, выделяющее физические состояния, примет вид

Решая это уравнение, получаем обычные условия для физических состояний:

Вычислим теперь вклад аномалий от этих осцилляторов. Мы обнаружим, что эти два вклада в сумме дают нулевую аномалию, но лишь в десятимерии. Вклад духов равен

Аномальный вклад сектора Рамона был равен . Итак, получаем

что фиксирует значения параметров

Аналогично рассмотрим значение аномалии для NS-сектора

Оно должно компенсировать аномалию, происходящую из бозонного сектора, которая равна . Итак,

Это выражение обращается в нуль при