§ 5.9. СУПЕРСТРУНЫ

К счастью, обобщение многопетлевых амплитуд на случай суперструн проводится довольно очевидным способом, за исключением осложнений, связанных с определением спиноров на римановых поверхностях рода д.

Рассмотрим тор, параметризованный двумя переменными и построенный отождествлением противоположных сторон параллелограмма. Струна X, определенная на параллелограмме, должна удовлетворять следующим условиям периодичности:

Однако задание спиноров на этой поверхности увеличивает число возможных вариантов. Спинор может быть либо периодическим и удовлетворяющим условиям Рамона, либо антипериодическим (—), удовлетворяющим условиям Навье-Шварца, причем по любой из переменных, как так и (До сих пор мы рассматривали только граничные условия по одному направлению в (3.2.16), а именно по , но не по ) Тем самым полное число различных комбинаций граничных условий равно четырем. Возможные варианты определения спинора на торе соответствуют комбинациям Будем говорить, что эти четыре возможных выбора граничных условий для тора определяют его оптовую структуру.

Кроме того, нам известно, что модулярные преобразования перемешивают граничные условия, а следовательно и спиновые структуры, так что все четыре комбинации будут давать вклад в окончательную амплитуду. Например, преобразование

Меняет на Подобным образом преобразование

еняет на и наоборот. Тем самым модулярная инвариантность, переставляющая граничные условия, заставляет включить в амплитуду комбинации комбинация инвариантна сама по себе.

Чтобы вычислить вклад каждой спиновой структуры в однопетлевую амплитуду, найдем след гамильтониана по всем четырем возможным

комбинациям. Гамильтонианы для секторов NS и R суть

(Здесь 1/24 возникает из-за регуляризации дзета-функции; см. гл. 11). Эти гамильтонианы принадлежат секторам NS и R в зависимости от их периодичности по направлению а. Однако, когда мы вычисляем след по этим гамильтонианам, мы вставляем полный набор промежуточных состояний по направлению т. Континуальный интеграл по выбирает лишь антипериодические граничные условия, поэтому он неполон. Необходимо видоизменить эту сумму, чтобы включить все возможные спиновые структуры, что достигается включением фактора где -фермионное число. Окончательная амплитуда представляет собой сумму амплитуд определенных для всех четырех следов и умноженных на некоторые коэффициенты С:

В явном виде каждый из следов записывается следующим образом:

Здесь - эта - функция Дедекинда:

Заметим, что последний след обращается в нуль. (Все три первые тэта-функции четны по переменной тогда как нечетна. Поэтому только четные спиновые структуры сохраняются в следе.)

Последствия этого таковы. В NS-сектор, например, мы включили как сектор так и сектор так что приходится включать их вклады в след:

Но это как раз и есть GSO-проекция [26], которая проектирует в нуль состояния, четные относительно Итак, мы получили новую физическую интерпретацию оператора GSO-проекции, который был введен в (3.6.12) для устранения несуперсимметричных секторов теории NS-R. Удивительно, что модулярная инвариантность, суперсимметрии и GSO-проекция столь тесно связаны.

Когда мы вычисляем вакуумную амплитуду, у которой нет внешних линий (она входит в вычисления космологической постоянной), необходимо сложить все четыре вклада спиновых структур. Но у нас есть замечательный результат Якоби:

Это означает, что вакуумная энергия суперструны, т. е. однопетлевая поправка к космологической постоянной, в точности равна нулю!

Подводя итоги, мы доказали, что модулярная инвариантность и операция GSO-проектирования по существу совпадают для замкнутой суперструны. Модулярная инвариантность, перемешивающая граничные условия, требует, чтобы мы добавили к окончательной амплитуде вклады всех спиновых структур, что в свою очередь соответствует добавлению как раз отвечающих GSO вставок оператора в след. Первоначально GSO-проекция была наложена на суперструну NS-R сцелью получить суперсимметрию. Теперь мы знаем, что GSO-проекция также налагает условие модулярной инвариантности [27].

В качестве приза мы обнаружили, что однопетлевой вклад в космологический член в точности равен нулю. (Однако это не означает, что теория суперструн решает проблему обращения в нуль космологической постоянной. После нарушения суперсимметрии мы не можем больше ожидать, что вклад вакуума равен нулю, и следовательно, теория суперструн не объясняет, почему космологическая постоянная равна нулю после нарушения суперсимметрии.)

Эти утверждения укрепляют наше убеждение в том, что внутренняя самосогласованность теории суперструн весьма замечательна.

Теперь обобщим наши наблюдения для построения многопетлевых амплитуд с внешними линиями.

К счастью, математический аппарат, разработанный для римановых поверхностей, весьма просто переносится на случай суперструн, если воспользоваться формализмом модели NS-R.

Обобщая (5.7.2), корреляционные функции можно вычислить из [28]:

Новым здесь будет интегрирование по двум антикоммутирующим векторным полям а также суммирование по всем спиновым

Уктурам.

Ранее в (3.4.5) было показано, что в формализме NS-R действие инвариантно относительно преобразования

Перь по аналогии с бозонной струной построим два оператора 112 и 1/2, такие что

В дополнение к интегрированию по модулям теперь нам придется интегрировать по супермодулям, которые определяются как пространство бесследовых таких что их невозможно устранить локальным суперсимметричным калибровочным преобразованием. Поэтому они удовлетворяют уравнениям

Для поверхности рода размерность пространства супермодулей равна размерности пространства

(Здесь «периодические дважды» означает граничные условия NS-R-поля.) Мы хотим построить якобиан для

Для фермионного поля этот якобиан вычисляется, как и прежде:

Здесь - супермодули, и они соответствуют параметрам Тейхмюллера, а интегрирование по фермионным параметрам X и представляет интегрирование по избыточности, вносимой суперсимметрией и суперпреобразованиями Вейля. Определим

где тензор кривизны. Собирая все вместе, получаем

Разделив на извлекаем бесконечную избыточность, вносимую суперсимметрией действия суперструны. На практике, однако, параметризация модулей, в особенности при числе петель выше трех» весьма трудна. Природа супермодулей, к сожалению, изучена еще хуже. Это два главных препятствия для четкого понимания многопетлевых амплитуд, т. е. для выбора координат на римановой поверхности рода в совместимого с модулярной и супермодулярной инвариантностью.