§ П.6. СЛОВАРИК ТЕРМИНОВ

Автоморфная функция. Функция называется автоморфной, если она инвариантна относительно действия проективного преобразования: Автоморфные функции служат подынтегральными выражениями в формулах для -петлевой амплитуды струны.

Аномалия - неспособность классической симметрии (глобальной или локальной) сохраниться в процессе квантования. Она возникает, когда ток, связанный с данной симметрией, перестает сохраняться из-за квантовых поправок. Самая важная аномалия в теории суперструн - это конформная аномалия, что фиксирует размерность пространства-времени: она должна быть равной 26 или 10. Кроме того, исчезнование киральной аномалии заставляет обращаться к группам вроде Можно также показать, что теория струн свободна от глобальных аномалий, которые могли бы нарушить модулярную инвариантность, так как последняя является глобальной симметрией.

Бетти число. число Бетти - это число независимых гармонических -форм для данного вещественного многообразия. Оно также равно размерности группы когомологии или группы гомологии для этой поверхности. Для двумерного тора первое число Бетти просто подсчитывает число независимых один-циклов. Поскольку двумерный тор содержит только два независимых цикла, то первое число Бетти в этом случае равно двум. Числа Бетти важны как топологические характеристики, обеспечивающие удобный способ классификации топологически эквивалентных поверхностей. Если две поверхности топологически эквивалентны, то их числа Бетти совпадают. Важные топологические характеристики, вроде эйлеровой, строятся из чисел Бетти.

Бозонизация - процесс построения фермионов из бозонов в двумерном случае, т. е. Прежде это считалось невозможным. Очевидная причина, по которой такая процедура осуществима лишь в двумерном случае, состоит в том, что группа Лоренца в двумерном случае имеет лишь одну образующую, так что понятие «спина» становится тривиальным. Поэтому подлинный смысл бозонизации - это образование антикоммутирующих переменных из коммутирующих. В конформной теории поля бозонизация играет важную роль в построении действительно удовлетворительной фермионной вертексной функции. Это достигается, так как бозонизация дает явный вид неприводимых представлений алгебры Каца-Муди для группы

Бьянки тождество - это тождество для два-форм кривизны, являющиеся следствием тождеств Якоби для ковариантных производных:

Выписанное в явном виде, оно есть

Поскольку это всего лишь тождество, оно не содержит никакой новой физической информации.

Вакуумное состояние есть нижнее состояние в гильбертовом пространстве. Оно соответствует классическому решению уравнений движения, полученному до введения квантовых поправок. Так, в теории струн классические решения, определенные на пространствах Калаби-Яу или на пространствах орбиобразий, соответствуют вакуумному состоянию полной квантовой теории. Важнейшая нерешенная проблема - вычислить, какие вакуумные состояния неустойчивы, а какие должны затухнуть в «истинный» вакуум. К несчастью, теория возмущений, служащая основным инструментом квантовой теории поля, недостаточна для определения того, какие вакуумные состояния неустойчивы в рамках теории струн.

Вейлевский спинор - представление матриц Дирака с определенной киральностью; это означает, что собственное значение равно или или —1. Вейлевские спиноры могут быть определены лишь в пространстве с четным числом измерений.

Вейлевское преобразование - преобразование, порожденное изменение масштаба.

Верма модуль - набор состояний, порождаемых действием на вакуумный вектор с собственным значением всеми возможными комбинациями повышающих операторов

Модель Верма характеризуется двумя числами: собственным значением оператора и центральным членом с. Если детерминант Каца отличен от нуля для всех элементов модуля, то последний образует неприводимое представление конформной группы.

Вещественное проективное пространство - множество прямых в проходящих через начало координат. Оно эквивалентно сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками (т.е. два единичных вектора определяют одну и ту же прямую в если Заметим, что

Эйлерова характеристика поверхности равна Эта поверхность ориентируема, если нечетное, и неориентируема, если четное.

Вильсоновские линии. Калибровочно инвариантная вильсоновская петля - это контурный интеграл

где путь интегрирования выбирается вдоль замкнутой кривой один-форма связности для некоторой алгебры Ли. Если многообразие является односвязным (т.е. любая замкнутая линия на этой поверхности может быть непрерывным образом стянута в точку), то обращение А в нуль означает, что Однако если многообразие неодносвязно, то необязательно равен единице при обращении А в нуль. Поэтому можно свести к подгруппе, коммутирующей со всеми элементами Это называется нарушением симметрии посредством вильсоновских линий.

Вирасоро алгебра - бесконечномерная алгебра, образующие которой подчиняются соотношениям

При получаем алгебру Уитта, определяющую репараметризацию окружности посредством преобразования Алгебру Вирасоро часто обозначают Группа, порождаемая этой алгеброй, есть т.е. группа диффеоморфизмов окружности. Алгебра Вирасоро не является алгеброй Каца-Муди, но можно строить полупрямое произведение этих двух алгебр. Кроме того, с помощью конструкции Сугавары можно строить образующие алгебры Вирасоро, взяв квадраты образующих алгебры Каца-Муди. Алгебра Вирасоро совершенно необходима для понимания теории струн по нескольким причинам. Во-первых, образующие алгебры Вирасоро естественным образом появляются при вычислении компонент тензора энергии-импульса для струны. Во-вторых, их коммутационные соотношения соответствуют репараметризационной и конформной симметриям струны. В-третьих, операторы алгебры Вирасоро порождают конформные преобразования двумерной мировой поверхности, действуя на амплитуду струны. В-четвертых, их положительные моменты уничтожают физические состояния, что существенно при доказательстве отсутствия в теории струн духовых состояний. В-пятых, оператор формализма BRST построен из образующих алгебры Вирасоро.

Вложение спиновой связности — помещение спиновой связности, преобразующейся под действием группы в касательном пространстве, в калибровочную связность, преобразующуюся под действием калибровочной группы. Вложение спиновой связности является простейшим способом удовлетворить тождествам Бьянки при компактификации пространств Калаби-Яу. Это также позволяет редуцировать калибровочную группу. Если спиновая связность обладает группой голономий (чтобы она могла сохранять ковариантно постоянный спинор), то ее вложение в калибровочную группу гетеротической струны редуцирует

эту калибровочную группу до посредством разложения

Вне массовой поверхности. Частица называется находящейся вне массовой поверхности, если для нее не выполняется уравнение , стало быть, она является виртуальной. Частицы и поля, не лежащие на массовой поверхности, появляются в функциях Грина, в промежуточных состояниях фейнмановских диаграмм и в формуле для действия.

Вторичное квантование - это квантование полей (а не координат), определенных в пространстве-времени. Если у поля имеется канонически сопряженное поле то вторичное квантование постулирует, что

Вторичное квантование является основой квантовой теории поля.

Гармоническая форма. Вещественная форма называется гармонической, если действие оператора Лапласа обращает ее в нуль. В силу теоремы Ходжа о разложении для любой группы голономий существует по крайней мере одна гармоническая -форма. Таким образом, число Бетти равно числу гармонических -форм.

Гаусса-Бонне теорема утверждает, что индекс Эйлера равен интегралу по эйлеровой характеристике в двумерном пространстве:

Теорема Гаусса-Бонне - это теорема об индексе, связанная с выводом величины для когомологий де Рама в двумерном случае. Для римановой поверхности эта характеристика равна где - род поверхности.

Гетеротическая струна (этот термин происходит от греческого слова, означающего «гибридную силу») является наиболее вероятным кандидатом на роль теории всех известных взаимодействий. Она основана на замкнутых струнах, но рассматривает секторы мод, движущихся влево и вправо, по отдельности. Сектор правых мод образован десятимерной суперструной, тогда как сектор левых мод образован 26-мерной струной Намбу-Гото, компактифицированной до десятимерного пространства-времени; в результате остается 16-мерная поверхность, которая компактифицируется на решетке группы или группы На однопетлевом уровне эта теория свободна от аномалий и конечна.

Гиперболическое. Проективное преобразование называется гиперболическим, если его множитель веществен, положителен и не равен единице. Неподвижные точки всегда можно выбрать так, чтобы множитель был меньше единицы. Гиперболические проективные преобразования играют важную роль при вычислении -петлевой амплитуды.

Голоморфная факторизация. Метод голоморфной факторизации основан на утверждении о том, что мера многопетлевой амплитуды замкнутой струны равна квадрату модуля некоторой голоморфной формы, разделенному на некую функцию от детерминанта матрицы периодов. Интуитивно это означает, что левые и правые моды (кроме нулевых мод) вносят одинаковый вклад в эту меру. Голоморфная факторизация может в конце концов позволить выписать меру для подынтегрального выражения в формуле многопетлевой амплитуды на основании простых рассуждений об инвариантности. Доказательство этой теоремы проходит лишь в 26-мерном пространстве из-за наличия аномалии, называемой «аналитической аномалией».

Голоморфная функция. Функция на комплексном -мерном пространстве С называется голоморфной, если

для всех . Это обобщение понятия аналитичности на случай -мерного комплексного пространства.

Грассманово число , антикоммутирует со всеми другими грассма-новыми числами и коммутирует с обычными вещественными или комплексными числами.

Грина-Шварца модель, GS-модель. В отличие от модели Невё-Шварца-Рамона эта модель построена на основе пространственно-временных майорана-вейлевских спиноров в десятимерии. Она обладает явной пространственно-временной суперсимметрией. Однако с ней трудно работать, поскольку ковариантное квантование является сильно нелинейным. В формализме светового конуса, тем не менее, GS-модель обеспечивает удобный способ вычисления многофермионных процессов.

Группа голономий - группа, порождаемая переносом спинора вдоль замкнутых контуров на многообразии. При этом спинор преобразуется как в результате последовательных переносов вокруг замкнутых контуров . В -мерном пространстве группа голономий является подгруппой группы

Группа гомологий многообразия равна множеству циклов, факторизованному по множеству границ. Гомология является глобальным свойством многообразия, позволяющим различать топологически неэквивалентные многообразия. Замечательный факт состоит в связи этого глобального свойства с локальным свойством, выраженным когомологией де Рама: размерность группы гомологий равна размерности группы когомологий де Рама.

Группа классов отображений - это группа диффеоморфизмов римановой поверхности, факторизованная по диффеоморфизмам, связанным с тождественным отображением:

Это эквивалентно пространству Тейхмюллера, факторизованному по пространству модулей. Она также эквивалентна множеству глобальных диффеоморфизмов римановой поверхности (включающему, например, твисты Дена). По этой группе необходимо факторизовать, чтобы избавиться от повторного счета при вычислении амплитуды замкнутой струны, возникающего из-за модулярной инвариантности. Группа классов отображений совпадает с модулярной группой.

Дена твист является глобальным диффеоморфизмом на римановой поверхности. Он равносилен разрезанию тора вдоль одного из его циклов, повороту одного из берегов разреза на и последующему склеиванию разреза. Полученный диффеоморфизм является глобальным и не может быть достигнут непрерывными деформациями тождественного отображения. Множество твистов Дена образует дискретную группу, называемую группой классов отображений и совпадающую с модулярной группой.

ДДФ-состояния. Состояния Дель Гидиче-Ди Веччи-Фубини являются реальными поперечными осцилляторами, определенными в -мерном пространстве. Они образуют базис физического гильбертова пространства. Они эквивалентны физическим осцилляторам струнной модели после квантования в переменных светового конуса.

де Рама когомология, группа когомологий де Рама является множеством -форм, замкнутых по модулю точных форм. Размерность группы когомологий де Рама для данного многообразия равна числу Бетти для этого многообразия.

Дирака индекс. Индекс Дирака есть разность между решением уравнения Дирака с нулевым собственным значением, обладающим положительной киральностью, и решением с отрицательной киральностью для данного многообразия:

При соответствующей регуляризации его можно также представить в виде

Если на многообразии М можно определить калибровку и спиновую связность, то

Дольбо группа когомологий для комплексного многообразия - это группа когомологий, представляющая собой множество -форм, замкнутых относительно оператора взятое по модулю форм, точных относительно этого оператора. Индекс, связанный с группой когомологий Дольбо, определяется теоремой Римана-Роха.

Дуальность - свойство, состоящее в том, что амплитуда рассеяния может быть выражена либо как сумма по -канальным полюсам, либо

как сумма по -канальным полюсам, но не как сумма по тем и другим одновременно, т. е.

В этом проявляется отличие от обычной теории поля, в которой суммирование проводится по обоим множествам полюсов. По этой причине построение полевой теории струн считалось невозможным.

Дух - это частица с отрицательной метрикой; поэтому в функции Грина она распространяется с неправильным знаком. Духи связаны с отрицательным знаком, появляющимся в лоренцевой метрике. Физическая теория должна быть полностью свободна от духов (или ее духи должны сокращаться с другими духами, содержащимися в -матрице). Если в теории имеются духи, являющиеся частью ее физического спектра, то эта теория допускает отрицательные вероятности и поэтому физически неприемлема. Как было показано, физическое пространство теории струн свободно от духов в силу тождеств Уорда, порождаемых алгеброй Вирасоро. Исторически струнные амплитуды были построены непосредственной вставкой сложного оператора проекции вдоль каждого пропагатора, что означало удаление из теории духовых состояний вручную. К несчастью, оператор проекции был весьма сложным, особенно для фермионных состояний. Замечательное свойство духовых состояний Фаддеева-Попова состоит в том, что они допускают непротиворечивое лоренц-ковариантное квантование сокращающееся с этими духами, что делает вычисление фермионных струнных амплитуд сравнительно простым. Это образует основу конформной теории поля.

Замкнутая форма - форма, удовлетворяющая тождеству Для многообразия размерность пространства замкнутых -форм (по модулю точных форм) является числом Бетти для этого многообразия.

Исключительные группы - это группы Ли, не подпадающие под обычную классификацию или Их обозначают как . С точки зрения феноменологии, группа является предпочтительной исключительной группой, так как у нее есть комплексные представления для кварков и лептонов, принадлежащих мультиплету 27.

Калаби-Яу многообразие. Калаби предположил, а затем доказал, что компактное кэлерово многообразие с пустым нулевым классом Черна всегда допускает кэлерову метрику с группой голономий Такие многообразия называются многообразиями Калаби-Яу, и они образуют классический вакуум для шестимерного многообразия струны после размерной редукции. Они получены в предположении, что суперсимметрия сохраняется при компактификации, что означает существование ковариантно постоянного спинора.

Касательное пространство. В каждой точке искривленного многообразия М можно восстановить плоскую систему координат, называемую касательным пространством. Оно особенно полезно при

определении спиноров на искривленных многообразиях, поскольку спиноры можно строить для лоренцевой группы в -мерном пространстве, но не для группы Поэтому спиноры определяются только в касательном пространстве.

Каца-Муди алгебра. Алгебра Каца-Муди-это бесконечномерная алгебра Ли. Она определяется коммутационными соотношениями

где все суть структурные константы обычной алгебры Ли, а с - неопределенный центральный член. Рассматривая индекс как фурье-образ непрерывной функции, определенной на отрезке от 0 до можно разместить образующие алгебры Каца-Муди на окружности. Алгебра Вирасоро не является алгеброй Каца-Муди, но она образует с ней полупрямое произведение:

Алгебры Каца-Муди полезны по нескольким причинам. Прежде всего, струнные состояния, возникающие после компактификации на решетке корневых векторов некоторой алгебры Ли, как можно показать, преобразуются под действием обобщения Каца-Муди этой алгебры Ли. Таким образом, комформная теория поля и алгебры Каца-Муди тесно связаны друг с другом.

Каца детерминант - это определитель матрицы

где -модуль Верма. Детерминант Каца был вычислен Кацем в явном виде для всех модулей Верма двумерной конформной группы. Если этот детерминант отличен от нуля для всех элементов модуля Верма, то данный модуль Верма образует неприводимое представление соответствующей группы. Модули Верма важны тем, что они дают нам нетривиальную информацию о башне резонансов, возникающих в исследуемой струнной модели. В геометрической теории струн основные струнные поля суть модули Верма (что объясняет происхождение странных духов Фаддеева-Попова, возникающих в полевой теории струн

Кобы-Нильсена переменные суть определенные на окружности параметры, позволяющие параметризовать -точечную амплитуду Венециано. Переменные Кобы-Нильсена являются наиболее удобными и часто используемыми переменными для дуальной модели. Они позволяют явным образом продемонстрировать циклическую симметрию.

Компактификация - это процесс, при котором мы берем многообразие и факторизуем его на решетку. Простейшая компактификация была введена Калуцей, который компактифицировал пятимерное многообразие до четырехмерного пространства-времени, сделав пятое измерение периодическим. В зависимости от выбранной решетки

компактифицированное многообразие имеет симметрию, соответствующую этой решетке. Так, изоспин можно ввести в модель суперструн не с помощью множителей Чана- Патона, а посредством компактификации. Компактификация также позволяет редуцировать десятимерную струну к четырехмерной теории, свернув нежелательные шесть измерений. Поэтому компактификация играет ключевую роль в получении осмысленной четырехмерной феноменологии на струне. Трудность, связанная с компактификацией и остающаяся неразрешенной проблемой вот уже 70 лет, с тех пор как Калуца впервые предложил компактифицировать пятое измерение, состоит в выборе из множества возможных классических решений такого, которое действительно предпочтительно для данной теории. В настоящее время для орбиобразий и пространств Калаби-Яу возможны десятки тысяч различных классических решений. Лишь непертурбативные формализмы (вроде полевой теории струн) могут ответить на вопрос о том, какой из этих возможных вакуумов является истинным вакуумом квантовой теории.

Комплексное многообразие. Грубо говоря, комплексное многообразие размерности это вещественное многообразие размерности если мы всегда можем найти комплексные переменные с голоморфными (т. е. аналитическими) функциями, переводящими вещественные переменные в комплексные. Поэтому не всякое вещественное многообразие размерности является комплексным многообразием.

Комплексное проективное пространство. Комплексное проективное пространство - это комплексное пространство размерности в котором все точки отождествлены с точками где -некоторое ненулевое комплексное число. Оно одновременно является компактным и кэлеровым. Оно совпадает со сферой если выполнить следующее отождествление:

Конформная аномалия - явление, состоящее в том, что квантованное действие струны не является конформно инвариантным. Наиболее яркое его проявление - неспособность действия Полякова сохранить инвариантность относительно масштабного преобразования Это преобразование порождает новые неинвариантные члены, которые обращаются в нуль в двух случаях: если фиксировать размерность пространства-времени равной 26 или 10, а также если допустить, что скалярная частица является частью действия. Во втором случае возникает теория Лиувилля, которая в настоящей книге не рассматривается.

Конформная группа. В четырехмерном пространстве конформная группа равна или Она имеет 15 образующих, соответствующих четырем трансляциям шести лоренцевым генераторам четырем собственно конформным бустам и одному масштабному преобразованию, или растяжению В двумерном пространстве, однако, конформная группа имеет бесконечное число образующих,

соответствующих генераторам алгебры Вирасоро Она эквивалентна группе

Конформная калибровка - калибровка, в которой двумерный метрический тензор фиксируется пропорциональным Такой выбор калибровки осуществим в классическом случае лишь для римановых поверхностей рода нуль. Когда мы переходим к римановым поверхностям более высокого рода или квантуем систему, то возникают осложнения: например, метрика зависит от комплексных параметров Тейхмюллера и конформная аномалия нарушает конформную инвариантность, если размерность отлична от

Конформная теория поля - формализм, с помощью которого можно вычислить все корреляционные функции теории струн, зная поведение произведений различных на малых расстояниях. Поскольку амплитуды являются корреляционными функциями, то это позволяет вычислить все бозонные и фермионные амплитуды, используя лишь соображения конформности. (Это не теория поля в смысле вторичного квантования).

Конформные духи - это духи Фаддеева-Попова, возникающие при выборе конформной калибровки. BRST-оператор построен из этих духовых полей. Такие конформные духовые поля являются одной из отличительных особенностей «новой» теории струн, отсутствующей в «старой» теории струн начала 70-х годов.

Конформный вес служит меткой неприводимых представлений конформной группы. Под действием конформного преобразования поле преобразуется с конформным весом , если

Если поле обладает конформным весом единица, то его криволинейный интеграл инвариантен относительно конформного преобразования. При построении моделей струн мы требуем, чтобы вершинная функция имела вес единица, с тем, чтобы были применимы калибровочные условия Вирасоро. Струнная переменная имеет конформный вес нуль. Образующие алгебры Вирасоро имеют конформный вес 2. Духи и с конформной теории поля имеют конформные веса соответственно.

Космологическая постоянная - это член появляющийся в действии общей теории относительности в добавление к тензору кривизны. Одна из насущных проблем космологии - объяснить, почему эта величина является столь чрезвычайно малым числом, не прибегая к «тонкой настройке» соответствующих уравнений вручную. Суперсимметрия достаточна для обращения в нуль космологической постоянной, но в конечном итоге суперсимметрия должна нарушаться, так что одной лишь суперсимметрии недостаточно для решения этой проблемы. Это одна из важных проблем, с которой сталкивается любая квантовая

теория гравитации, в том числе теория суперструн.

Кэлеров потенциал. Можно показать, что для кэлерова многообразия эрмитова метрика может быть выражена через единственную функцию, называемую кэлеровым потенциалом

Кэлерова форма - это форма

для эрмитовой метрики.

Кэлерово многообразие. Комплексное многообразие является кэлеровым, если на нем существует эрмитова метрика и его кэлерова форма замкнута, т.е.

Для кэлеровых многообразий можно доказать много красивых теорем, например, что все разнообразные лапласианы, которые могут быть выписаны для комплексных многообразий, совпадают.

Майорана-вейлевский спинор - спинор, являющийся одновременно вейлевским и майорановским, т. е. вещественным и обладающим определенной киральностью. Он существует лишь в пространствах, размерность которых равна Майорана-вейлевские фермионы используются в модели Грина-Шварца.

Майорановский спинор есть чисто вещественное представление матриц Дирака. Таким образом, частицы являются своими собственными античастицами. Майорановские спиноры могут быть определены лишь в пространствах с размерностями

Мировая поверхность есть двумерное риманово многообразие, заметаемое при движении струны.

Модель NS-R. Модель Невё-Шварца-Рамона (после GSO-проекции) является простейшей теорией суперструн. Она состоит из струны и ее суперсимметричного партнера, антикоммутирующего векторного поля В зависимости от граничных условий на мы можем описать либо фермионы, либо бозоны. Модель обладает двумерной суперсимметрией, но десятимерная пространственно-временная суперсимметрия весьма проблематична. Напротив, действие Грина-Шварца вполне суперсимметрично в десятимерии (но его трудно квантовать ковариантно).

Модулярная группа для тора есть т. е. множество вещественных матриц с целочисленными элементами и единичным детерминантом. Это группа инвариантности подынтегрального выражения для -петлевой амплитуды замкнутой струны. Если тор параметризован как квадрат в плоскости противолежащие стороны которого отождествлены, то модулярная группа отвечает за перемену ролей параметров . Модулярная группа решающим образом связана

с суперсимметрией и конечностью многопетлевой амплитуды.

Многообразие. Пространство М является многообразием, если существует его покрытие лоскутами каждый из которых является подпространством -мерного вещественного пространства или -мерного комплексного пространства Теории взаимодействующих струн определены на многообразиях (т. е. римановых поверхностях), но теории взаимодействующих точечных частиц не могут быть определены таким образом. Фейнмановские диаграммы не составляют многообразия, поскольку их локальная топология не совпадает с топологией

Множитель. Проективное преобразование всегда можно диагбнализовать и привести к виду Мультипликативная константа называется множителем. В однопетлевой амплитуде суперструны множитель проективного преобразования первой петли входит в функцию распределения.

На массовой поверхности. Частица называется лежащей на массовой поверхности, если она удовлетворяет уравнению , следовательно, является физической, а не виртуальной. Свойства амплитуды Венециано, такие, как циклическая симметрия, выполняются лишь на массовой поверхности. -матрица с необходимостью лежит на массовой поверхности, тогда как лагранжиан и функции Грина лежат вне массовой поверхности. Для струны условие массовой поверхности есть

Неймана функция - это функция Грина для римановой поверхности, такая, что нормальная производная на границе равна нулю. Мы требуем такого граничного условия, чтобы сохранить тот факт, что на конце открытой струны. Экспонента от функции Неймана для римановой поверхности рода входит в амплитуду суперструны для ЛГ-петлевого рассеяния.

Неподвижные точки проективного преобразования - это те точки, которые остаются на месте под действием данной группы: Проективное преобразование имеет две неподвижные точки: Здесь произвольно. Любое вещественное проективное преобразование можно параметризовать его двумя неподвижными точками и множителем. Если преобразование мультипликативно, т.е. то эти две неподвижные точки суть 0 и а его множитель есть (Это параметризация однопетлевой амплитуды.)

Орбиобразие - поверхность, которая получается, если взять тор и факторизовать его с помощью дискретной группы. У орбиобразий обычно имеются неподвижные точки, т.е. точки, инвариантные относительно действия дискретной группы, и поэтому они не являются многообразиями. Конус, например, это орбиобразие, получающееся, если взять двумерную плоскую поверхность и факторизовать ее с помощью так что начало координат будет неподвижной точкой. Когда гетеротическая струна компактифицируется на орбиобразие, группа обычно редуцируется до подгруппы, коммутирующей

с действием этой дискретной группы. Очевидно, что эти неподвижные точки не нарушают физических свойств полученной теории. Орбиобразия, вероятно, являются частными предельными случаями пространств Калаби-Яу.

Ориентируемость. Многообразие М, состоящее из лоскутов (открытых множеств) называется ориентируемым, если где перекрываются и где суть преобразования, отображающие соответствующие лоскуты в Если детерминант отрицателен, то ориентация многообразия изменилась, и это многообразие является неориентируемым (как, например, лист Мёбиуса или бутылка Клейна). Неориентируемые поверхности более высокого рода можно строить, беря двумерную поверхность с двумя отверстиями и соединяя края этих отверстий, отождествляя при этом точки на краях отверстий в циклическом или антициклическом порядке.

Ортосимплектическая группа. Ортосимплектические группы суть градуированные группы Ли, относительно действия которых инвариантно выражение

где суть грассмановы переменные. Их можно редуцировать следующим образом:

Супергравитация - это калибровочная теория, основанная на группе

Первичное квантование - это квантование координат. Если координата является канонически сопряженной для координаты х, то . Подход первичного квантования рассматривает в качестве фундаментального объекта, к которому применяется действие, координаты точки или струны, а не поле. Чтобы ввести взаимодействия, в подходе первичного квантования приходится суммировать по топологиям фейнмановских диаграмм. Поэтому формализм первичного квантования с необходимостью основан на теории возмущений.

Полякова действие. Лагранжиан Полякова имеет вид

В классическом случае он инвариантен относительно репараметризации и преобразований Вейля. После квантования вейлевская инвариантность нарушается, кроме случая Классически такое действие эквивалентно действию Намбу-Гото. Однако на квантовом уровне действие Полякова содержит специфическую информацию относительно метрики, по которой происходит суммирование с целью получить многопетлевые поверхности, тогда как для действия Намбу-Гото эту информацию приходится добавлять вручную.

Понтрягина класс. Класс Понтрягина для многообразия с кривизной,

принадлежащей алгебре Ли группы есть

Проективное преобразование определяется формулой

где Это порождает группу т.е. множество вещественных матриц размера с единичным детерминантом. С -петлевой амплитудой струны связано проективных преобразований.

Пространство модулей определяется для замкнутой римановой поверхности как множество всех метрик с постоянной кривизной, разделенное на множество всех возможных диффеоморфизмов. Для многообразий рода где размерность этого пространства равна (число независимых параметров, необходимое для параметризации поверхности). Именно по этому пространству интегрируется действие Полякова. Оно тесно связано с пространством Тейхмюллера, отличаясь от последнего лишь множеством глобальных диффеоморфизмов, или твистов Дена.

Редже полюс. Полюс Редже - это сингулярность -матрицы в комплексном пространстве угловых моментов. В теории -матрицы угловой момент и энергия рассеяния могут принимать комплексные значения. Если является угловым моментом как функция квадрата энергии, то амплитуда рассеяния будет иметь полюс по этой переменной. Каждый полюс Редже соответствует некоторому резонансу. В теории струн проводится суммирование по бесконечному числу полюсов Редже, или резонансов.

Редже траектория - это прямая линия, которая получается, если построить график зависимости углового момента от квадрата энергии в точках сингулярности -матрицы (полюсах Редже). Квадраты энергии откладываются по оси абсцисс, а угловые моменты по оси ординат. В теории струн резонансы образуют бесконечное множество точек, которые, будучи соединенными, образуют семейство параллельных прямых с положительным углом наклона. Самая левая из этих прямых называется ведущей траекторией. Точка пересечения ведущей траектории с осью ординат называется интерсептом. Для струнной модели интерсепт принимают равным 1. Угол наклона этих траекторий называют реджевским наклоном а.

Решетка Г - это множество точек вида где суть целые числа, а множество независимых векторов в -мерном пространстве. В струнной теории решетки используются для компактификации, уменьшающей число измерений от 26 или 10 до четырех. Один из способов это сделать - компактификация на тор, определенный

факторизацией евклидова пространства посредством решетки, т. е. Не всякую решетку можно связать с решеткой алгебры Ли. Например, решетка Лича в -мерном пространстве не является решеткой какой-либо алгебры Ли. Решетка называется четной, если есть четное число. Решетка называется автодуальной, если она совпадает с дуальной к ней решеткой. Дуальная решетка определяется набором линейно независимых векторов таких, что

В 16-мерном пространстве нет других автодуальных решеток, кроме связанных с решетками корней групп Решетка корней алгебры Ли называется просто сплетенной, если все ее корни имеют одинаковую длину. Среди групп Ли только группы и Е являются просто сплетенными.

Риманова поверхность - комплексное двумерное многообразие. Струна заметает риманову поверхность с дырками при своем движении в пространстве-времени. Поэтому теория возмущений для струн основана на теории голоморфных функций, определенных на римановых поверхностях рода д.

Римана-Роха теорема об индексе - теорема об индексе, соответствующем оператору на римановой поверхности. Она может быть выражена многими способами, но для наших целей удобна следующая формулировка: размерность пространства квадратичных дифференциалов минус размерность пространства конформных векторов Киллинга пропорциональна для поверхности рода д. Для системы духовых мод это означает, что число независимых нулевых мод духов с минус число нулевых мод духов равно Поэтому теорема Римана-Роха полезна при установлении того факта, что пространство квадратичных дифференциалов имеет размерность это есть пространство модулей. Для суперструн соответствующий вариант теоремы Римана-Роха позволяет вычислить размерность пространства супермодулей.

Риччи-плоская метрика. Метрика дназывается риччи-плоской, если

Род компактной римановой поверхности равен числу дырок или ручек этой поверхности. Так, род тора равен 1.

Симплектическая группа - группа, относительно действия которой инвариантно следующее выражение:

Здесь суть грассмановы переменные. Наиболее важная для теории супергравитации симплектическая группа - это группа локально изоморфная группе де Ситтера.

Спиновая связность (обозначается ) входит в ковариантную

производную спинора:

Здесь - образующая группы Лоренца в матричном виде. После добавления спиновой связности ковариантная производная становится подлинным тензором.

Спиновая структура - это набор всех возможных граничных условий, которым может удовлетворять фермион на спиновом многообразии рода д. Беря континуальный интеграл по однопетлевой диаграмме в модели мы должны интегрировать по всем спиновым структурам, а именно по четырем возможным комбинациям граничных условий в направлениях (от, чтобы сохранить модулярную инвариантность: Для поверхности рода имеется спиновых структур.

Спинорное многообразие - это многообразие, допускающее спиноры, т. е. на этом многообразии возможно определить спиноры и уравнение Дирака. Многие гладкие многообразия не являются спинорными, поскольку для спинорного многообразия первый и второй индексы Штифеля-Уитни должны быть равны нулю. Всякое ориентируемое многообразие в двух и трех измерениях является спинорным.

Суперконформная группа в четырехмерном пространстве равна Это градуированная группа Ли, имеющая следующее разложение:

Калибровка этой группы дает суперконформную теорию гравитации. В двумерном пространстве, однако, суперконформная алгебра - это или алгебра супер-Вирасоро, или NS-R.

Суперполе - это функция сразу и пространственно-временных, и суперсимметричных грассмановых переменных: . В четырех измерениях, если грассмановы переменные являются майорановскими спинорами, это суперполе содержит 16 независимых полей. Оно образует некое представление группы суперсимметрии:

Обычно это представление является приводимым, так что на суперполе можно наложить связи. Суперполе остается представлением группы суперсимметрии, если операторы, налагающие связи, коммутируют с суперсимметричным генератором.

Тейхмюллера параметры - это набор, состоящий из конформно различных чисел, необходимых для параметризации замкнутой римановой поверхности рода

Тейхмюллера пространство есть пространство римановых поверхностей с постоянной кривизной, рассматриваемых с точностью до диффеоморфизмов, которые могут быть непрерывно связаны с тождественным отображением. Размерность этого пространства равна

для римановой поверхности рода это означает, что параметров Тейхмюллера параметризуют риманову поверхность рода Они возникают в явном виде как переменные интегрирования многопетлевой диаграммы. Пространство Тейхмюллера в действительности слишком общирно для вычисления континуального интеграла. Его еще нужно разделить на глобальные диффеоморфизмы группы классов отображений (модулярной группы), порождаемые твистами Дена.

Тетрада. В -мерном пространстве тетрада есть вещественная -матрица которая преобразуется как тензор первого ранга при общем координатном преобразовании по индексу и при локальном преобразовании Лоренца по индексу а. Ее квадрат равен метрическому тензору:

Тетрады абсолютно необходимы для определения спиноров в общей теории относительности, так как у группы нет конечномерных спинорных представлений.

Точная форма. -форма сор называется точной, если существует -форма такая, что сор

Фаддеева-Попова детерминант - составляющая меры, появляющаяся вследствие фиксации калибровки в континуальном интеграле. Если взять калибровку и параметризовать калибровочное преобразование параметром А, то детерминант Фаддеева-Попова будет равен

При вычислении действия этот детерминант дает член

где называются духами Фаддеева-Попова.

Форма кривизны. В теории дифференциальных форм форма

называется два-формой кривизны, если со является один-формой связности, определенной над алгеброй Ли. Если выбрать в качестве касательного пространства группу Лоренца, то два-форму кривизны можно записать в виде

где с представляют лоренцевы индексы.

Форма связности - это один-форма со, определенная над алгеброй Ли, которая добавляется к частной производной для получения истинной

ковариантной производной:

Форма связности является смешанным тензором. Это вектор в пространстве-времени, но также элемент алгебры Ли. На языке теории расслоений, базовым пространством служит обычное пространство-время, а расслоенным пространством- пространство, связанное с алгеброй Ли. Форма связности позволяет «связать» базовое пространство с расслоенным при сдвигах в базовом многообразии. Для группы формой связности служит обычное поле Янга-Миллса:

Для группы Лоренца форма связности называется спиновой связностью:

Здесь М- матричное представление образующих группы Лоренца.

Функция распределения имеет вид

При коэффициент при дает распределение, отвечающее целому числу Эта функция не только определяет число состояний струнной модели на уровне но также управляет расходимостью однопетлевой амплитуды.

Чана-Патона фактор - это множитель, стоящий перед амплитудой Венециано, с помощью которого вводятся изоспиновые индексы на струнах. Это простейший способ ввести изоспин в теорию суперструн, совместимый с дуальностью. Мы просто умножаем -точечные амплитуды на след изоспиновых матриц, который обладает циклической симметрией. Потребовав факторизации, а также чтобы частица Янга-Миллса принадлежала присоединенному представлению группы, мы фиксируем эту группу: она должна быть или или или Факторы Чана-Патона необходимы для струн теории но для гетеротических струн изоспины вводятся совершенно иным способом, а именно посредством компактификации.

Черна класс для формы кривизны равен

Черна-Саймонса форма. N-й класс Черна, поскольку он замкнут и точен, может быть записан в виде Форма Черна-Саймонса возникает при формулировании калибровочных теорий, особенно при анализе аномалий.

Шпурионное состояние - состояние, не взаимодействующее с физическими состояниями: . В 26-мерном пространстве шпурионные состояния с отрицательной нормой исключаются из теории струн, так как все они не взаимодействуют с ней.

Эйлерова характеристика определяется как сумма всех положительных чисел Бетти минус сумма всех отрицательных чисел Бетти:

Это, вероятно, самое важное топологическое число в теории когомологий. Оно равно интегралу по эйлеровым характеристикам, получаемым согласно теореме Гаусса-Бонне в двух измерениях. В теории суперструн после компактификации на пространство Калиби-Яу и вложения спиновой связности номер поколения равен половине абсолютного значения эйлеровой характеристики.

BRST-преобразование. Преобразование Беччи-Руэ Стора-Тупина - это преобразование калибровочных полей и их духов Фаддеева-Попова. Оно является глобальной симметрией, так что из него могут возникнуть новые связи. Симметрия порождается BRST-зарядом таким, что Для струны это фиксирует размерность и интерсепт, равный 1.

GSO-проекция. Проекция Глиоззи-Шерка-Олива является транки-рованием модели Невё-Шварца-Рамона, выделяющим сектор с четной -четностью, что делает пространство-время этой модели суперсимметричным и устраняет тахионы. На однопетлевом уровне это эквивалентно модулярной инвариантности. Это также эквивалентно суммированию по всем возможным спиновым структурам для однопетлевой амплитуды.

Spin(W) есть просто связанная покрывающая группа компактной дважды связанной группы так,

ZN-дискретная группа перестановок, все элементы которой удовлетворяют условию