§ 7.6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Хотя это не очевидно, но BRST-вершина в том случае, когда внешние частицы располагаются на «массовой поверхности», эквивалентна любой другой вершинной функции, которая может быть получена с помощью конформного преобразования, генерируемого Определим, к примеру, другую вершинную функцию , которую можно выразить как комформное преобразование первоначально вершины:

Действуя на это уравнение физическим состоянием которое удовлетворяет условию получаем

Следовательно, две вершинные функции имеют на массовой поверхности одинаковые матричные элементы. Таким образом, было показано, что представленная здесь вершинная функция эквивалентна на массовой поверхности ковариантному осцилляторному варианту вершины Ко-Йеши-Швиммера-Венециано (CSV), найденной на заре дуальных моделей. (Фактически эта вершинная функция была получена рассмотрением -точечных деревьев и последующей трехкратной факторизацией амплитуды, необходимой для выделения трехреджеонной вершинной функции.) Приведенные выше рассуждения показывают, что какую бы вершину мы ни использовали, мы должны получать одни и те же -матричные элементы. Это доказывает, что трехструнная вершина, найденная в формализме BRST, дает на массовой поверхности точно такие же матричные элементы, как и старая вершина CSV [29, 30], несмотря на их совершенно различную геометрию. По сути этот факт можно использовать для доказательства того, что все три вершины (старая вершина в калибровке светового конуса, старая ковариантная вершина и новая вершина BRST) дают одинаковые элементы -матрицы.

Доказательство того, что наша вершинная функция порождает правильную вершинную функцию на массовой поверхности для модели Венециано, довольно просто. Мы возьмем матричные элементы обеих вершинных функций с когерентными состояниями, которые являются функциями переменной и затем покажем, что полученные выражения связываются друг с другом конформным преобразованием. Далее мы убедимся, что это конформное преобразование может быть выражено в виде (7.6.1).

Старая CSV-вершина описывается формулой

где матрица С удовлетворяет следующему свойству:

(Для проверки мы всегда можем замкнуть один из хвостов реджеона на куум, превратить трехосцилляторное гильбертово пространство в одноосцилляторное и воспроизвести обычную вершинную функцию для тахиона. Таким образом, равняется обычной вершинной функции Венециано.)

Покажем, что эта вершинная функция с точностью до преобразования, порожденного равна симметричной вершине. Для этого исследуем сначала действие комформного преобразования на когерентное

состояние (которое было введено в (2.6.18)):

Прямым вычислением можно показать, что оператор Вирасоро, де ствуя на это состояние, дает

Это преобразование когерентного состояния, когда применяется один оператор Теперь мы хотим применить к когерентному состоянию любое число операторов

Здесь мы определяем функцию как

Итак, конформное преобразование общего вида порождает следующее преобразование когерентного состояния:

где

Формулу (7.6.9) следует сравнить с формулой (4.1.8), которая дает преобразованию поля с весом под действием конформной группы.

Теперь, вооружившись этими результатами, можно показать эквивалентность двух вершинных функций, взятых на массовой поверхности. Мы начинаем со спаривания трехреджеонной вершинной функции с тремя произвольными когерентными состояниями [32]:

Такое выражение может быть получено в явном виде из определения матрицы С в (7.6.4).

Следующий шаг заключается в спаривании симметричной вершины BRST (7.4.11) с тремя произвольными когерентными состояниями сравнении результата с выражением, приведенным выше. Нам понадобятся следующие формулы:

Эти тождества позволяют сконструировать явную форму для матричного элемента между когерентным состоянием и симметричной вершинной функцией BRST. Сравнивая получаемое выражение с (7.6.12), мы находим связь между старой вершиной CSV и новой вершиной BRST:

Это то выражение, которое мы хотели получить. Оно показывает, что матричный элемент вершины CSV и матричный элемент симметричной вершины BRST связываются множителем, возведенным в степень Сравнивая с (7.6.9), видим, что этот множитель можно выразить через операторы Итак, мы имеем точное решение для (7.6.1), по крайней мере на когерентных состояниях, демонстрирующее, что вершина CSV и вершина BRST связаны конформным преобразованием и, значит, имеют на массовой поверхности одинаковые матричные элементы.

Существует еще один способ показать эквивалентность вершины CSV и симметричной вершины, который основывается на степенном разложении (7.4.17), а не на использовании конформных свойств комплексных Функций. Нам известно, что действуют на комплексные функции как Определим

Всегда возможно отыскать ряд коэффициентов таких что

На практике нахождение этих коэффициентов может оказаться трудным, но в принципе они известны с любой степенью точности. Например, Далее можно показать, что симметричная вершина и

вершина CSV связываются следующим конформным преобразованием:

Хотя связь между симметричной вершиной Виттена и вершиной BRST установлена, мы все еще сталкиваемся с проблемой существовав фактически двух струнных полевых теорий BRST, которые кажутся вовсе не связанными друг с другом. Другая BRST-формулировка теории взаимодействий основывается на старой вершине в конусном формализме, в котором струны просто расщепляются или соединяются во внутренней точке. Мы можем также предположить, что трехструнная вершинная функция состоит из ковариантной дельта-функции Дирака [18-24]:

Важно осознать, что эта новая вершинная функция есть в точности то же самое, что и старая вершинная функция в формализме светового конуса (6.4.5), кроме того, что гармонические осцилляторы теперь полностью ковариантны, а не просто поперечны, а также того, что мы должны умножить новую вершинную функцию на духовую вершину. Выполняя это умножение, мы получаем «ковариантную вершину в формализме светового конуса».

Можно показать, что эта ковариантная вершина удовлетворяет условию BRST-инвариантности:

Можно также доказать, что эта ковариантная версия конусной вершины эквивалентна трехреджеонной вершинной функции взятой на массовой поверхности. Однако мы будем использовать другое доказательство, а не приведенное выше. На этот раз мы покажем, что условия непрерывности или перекрытия, которым удовлетворяет вершинная функция после конформного преобразования могут быть записаны как условие непрерывности для вершинной функции в формализме светового конуса. Так как условия непрерывности или перекрытия определяют вершину, то отсюда должно следовать, что две вершины связываются конформным преобразованием.

Запишем вершинную функцию CSV в виде

где

Начнем с предположения, что на эту вершинную функцию наложить следующее условие непрерывности для некоторых

неизвестных величин А, В и С:

Здесь Р определяется формулой

Коммутируя различные гармонические осцилляторы через ваходим следующие связи на А, В и C:

Это выражение все еще оставляет нам широкие возможности в выборе величин А, В и С. Обращая внимание на области сходимости этих функций, находим, что можно положить при при при Для удобства выберем что еще оставляет определенную степень произвольности. В частности, положим

для некоторого

Наша цель состоит в выяснении связи между этой вершиной и обычным формализмом светового конуса, в котором верхняя полуплоскость отображается в струнную конфигурацию посредством преобразования

Как и выше, мы параметризуем трехструнную вершинную функцию в плоскости в направлении от параметром где

и

С этими определениями коэффициенты А и С можно переписать в виде

А сейчас наступает решающий шаг. Известно, что под действием конформной группы оператор Р преобразуется следующим образом (см. (4.1.17), где мы взяли экспоненциальное преобразование обычных переменных):

Следовательно, уравнение непрерывности можно представить как

Используя трансформационные свойства Р относительно конформной группы, получаем

Но Это и есть нужное нам выражение. С помощью конформного преобразования мы создали новую вершину, которая удовлетворяет другому условию непрерывности по т. е. по координате от трех струн. Эта новая вершинная функция в точности удовлетворяет первоначальным условиям непрерывности для вершинной функции в калибровке светового конуса между струнами 1 и 3. Аналогично, образуя различные комбинации, можно показать выполнение условий непрерывности также между струнами 2 и 3. Итак, мы убедились, что посредством конформного преобразования оказывается возможным выразить уравнение непрерывности для ковариантной вершины Венециано через уравнение непрерывности для ковариантной конфигурации в формализме светового конуса.

Но поскольку конформное преобразование генерируется операторами то это означает, что на массовой поверхности ковариантная функция в формализме светового конуса (7.6.15) неотличима от ковариантной вершины Венециано (7.6.17).

Здесь мы должны объяснить, почему существуют два варианта формализма BRST: один - основанный на полностью симметричной вершине, а другой - на вершине в калибровке светового конуса, причем оба имеют на массовой поверхности одинаковые свойства. Эти формализмы кажутся непохожими друг на друга в основных чертах. Определенный ковариантным образом формализм светового конуса, например, имеет дополнительный член четырехструнного взаимодействия. Он необходим, поскольку калибровочная группа для этого формализма полностью не замыкается. Пытаясь применить (7.5.3) для струнной конфигурации в формализме светового конуса, мы сталкиваемся проблемами. Группа не замыкается без дополнительного четырехструнного взаимодействия, но даже с ним она становится замкнутой толь на массовой поверхности.

С другой стороны, симметричная теория, как можно показать, является последовательной без четырехструнного взаимодействия.

Таким образом, эти две теории имеют фундаментальные различия.

Хотя не все детали ясны, решение этой головоломки можно отыскать в незавершенности вторично квантованной полевой теории, опирающейся на определенный ковариантным образом формализм светового конуса. Дело в том, что необходимо проинтегрировать по всем возможным «длинам» струны В старой теории светового конуса это интегрирование допускалось, так как оно на самом деле совпадало с интегрированием по импульсу струны. Однако в ковариантной теории - лишний параметр, не имеющий физического смысла. Следовательно, интегрирование по создает бесконечное количество копий одной и той же вещи. Так, например, в пределе нулевого наклона эта теория производит бесконечное число действий Янга-Миллса:

что очевидный абсурд. Такое интегрирование по фиктивному параметру а приводит к возникновению в полевой теории ненужной бесконечности. Поэтому со вторым методом BRST связана фундаментальная проблема.

Решение этой проблемы заключается в геометрической формулировке следующей главы. Там мы показываем, что а можно выразить как настоящий калибровочный параметр и, следовательно, зафиксировать. Однако в рамках представленного формализма BRST превратить а в настоящий калибровочный параметр невозможно. Чтобы зафиксировать «длину» струны, мы должны намного расширить число полей, а это осуществимо только в геометрическом формализме (см. также [37, 38]).