§ 3.2. ДВУМЕРНАЯ СУПЕРСИММЕТРИЯ

Учитывая трудности, связанные с суперчастицами (такие, как отсутствие ковариантного квантования и алгебры, замыкающейся вне массовой поверхности), временно забудем о пространственно-временной суперсимметрии и обсудим двумерную симметрию на мировой поверхности простейшего из всех возможных действий, включающего свободные струны и свободные фермионы. Это действие мы можем сразу взять в конформной калибровке, но оно выявит все существенные черты двумерной суперсимметрии. В этой формулировке с фиксированной калибровкой мы будем налагать калибровочные связи на фоковское пространство вручную. Впоследствии мы представим полное действие, и тогда мы сможем вывести эти связи, начиная с локально симметричного действия.

В конформной калибровке выполняется [1]

где индекс а принимает значения 1 и 2, служа меткой двумерных векторов, а - пространственно-временной индекс.

Заметим, что странный объект: это антикоммутирующий майорановский спинор в двумерном пространстве и вектор в реальном пространстве-времени. Определим

В явном виде выписав лагранжиан через компоненты, получим

Хотя в этом действии калибровка фиксирована, оно все еще сохраняет инвариантность относительно глобального преобразования

Итак, временно отказавшись от попытки построить теорию струн с настоящими пространственно-временными спинорами, мы получили двумерную суперсимметричную теорию, которая весьма проста и включает свободные бозонные и антикоммутирующие поля.

Исторически теория Невё-Шварца-Рамона NS-R [4-6] была первой успешной попыткой ввести спин в дуальную модель. Она также стала первым примером линейного суперсимметричного действия [1], и вскоре/Последовали четырехмерные суперсимметричные действия для точечных частиц [7, 8].

Теперь, после того как мы выписали наше двумерное суперсимметричное действие, проследим шаги, предпринятые нами в предыдущей главе для нахождения решения системы. Следующий шаг - найти токи, связанные с этими симметриями, затем установить, какую алгебру эти токи порождают, и, наконец, наложить эти связи на гильбертово пространство. Последовательность, которой мы будем придерживаться в настоящем разделе, является непосредственным обобщением шагов, предпринятых в предыдущей главе:

Следуя этой стратегии, вычислим теперь суперсимметричный ток, связанный с этой симметрией. Как мы видели в предыдущей главе, существование конформной симметрии достаточно для того, чтобы породить сохраняющийся ток. В (1.9.8) мы видели, что этот сохраняющийся ток можно записать в виде

Подставляя (3.2.4) в (3.2.6), получаем

Чтобы проверить сохраняемость этой величины, сначала нужно выписать уравнения движения системы, что особенно легко сделать, поскольку они описывают свободные струны и частицы:

Теперь легко показать, что

Будучи записано через компоненты, это выражение эквивалентно:

Используя уравнения движения, можно показать, что

Кроме суперсимметричного тока, у нас есть также тензор энергии-импульса, который, как мы видели выше в (1.9.17), можно записать в виде

Это выражение легко приспособить для наших целей. Подставляя (3.2.1) в (3.2.12), находим

где - бесследовый тензор, так как мы явным образом вычли след. Выпишем компоненты этого тензора:

Наша основная стратегия (3.2.5) состоит в том, чтобы использовать эти токи для наложения связей на фоковское пространство с целью устранения всех духов:

(Мы должны, однако, снова подчеркнуть, что мы просто налагаем на фоковское пространство нужные нам связи. Поскольку рассматриваемое здесь действие не является локально суперсимметричным, мы не можем

вывести эти связи из основных допущений модели. Ниже, когда мы запишем вполне симметричное действие, мы увидим, что эти связи возникают вследствие локальной симметрии.)

В отличие от случая бозонной струны, у нас фактически есть выбор между двумя различными граничными условиями, которые можно наложить на поля периодическими или антипериодическими. При всегда можно выбрать Однако при можно выбрать одно из двух граничных условий. Если поле периодично, то получаем граничные условия Рамона, а если оно антипериодично-граничные условия Невё-Шварца [9, 10]:

Получив для нашего спинора два разных типа граничных условий, мы, естественно, получаем два разных способа разложения в ряд Фурье по целым (полуцелым) модам [8, 9]:

Следующий шаг в нашей стратегии -нахождение алгебры, которую эти токи порождают. В предыдущей главе мы видели, что симметрии давали тензор энергии-импульса, который в свою очередь порождал алгебру Вирасоро, т. е. конформную алгебру. Для действия Невё-Шварца-Рамона (NS-R) мы обнаружим, что порождается суперконформная алгебра.

При таком разложении полей моменты тока можно теперь записать в виде

метим, что определение конформных генераторов теперь включает вклады от антикоммутирующего сектора.

Можно повторить это фурье-разложение также для суперсимметричного

тока. Для сектора R получим

Для сектора NS имеем

Чтобы найти алгебру из этих моментов токов, нужно построить величины, канонически сопряженные полям. Если определить

то окажется, что фермионное поле является самосопряженным. Поэтому наложим условие

Следовательно, осцилляторы в (3.2.17) и (3.2.18) подчиняются условиям

Важно заметить, что нулевая составляющая R-сектора пропорциональна гамма-матрицам Дирака:

Итак, мы видим, что сектор Рамона соответствует фермионному сектору и что NS-сектор, хотя он и содержит антикоммутирующие операторы, все же остается бозонным сектором. То, что граничные условия вроде (3.2.16) играют столь важную роль в развитии фермионного и бозонного секторов теории, - совершенно новая и, видимо, уникальная черта теорий струн. (Этот на первый взгляд необъяснимый факт будет весьма важен при обсуждении многопетлевых амплитуд, определенных на поверхностях с дырками. Тогда эти граничные условия будут определять то, что называется «спиновыми структурами» многообразия.)

После установления коммутационных соотношений можно построить алгебру, порождаемую этими тензорами. Как и ранее, моменты этих токов порождают замкнутую алгебру. Для NS-сектора алгебра будет следующей:

Элементы алгебры можно явно выразить через осцилляторы NS-сектора:

Повторяя те же шаги для R-сектора, получим

В явном виде элементы алгебры выражаются через осцилляторы так:

Мы можем получить гамильтониан прямо из компонент тензора энергии-импульса. В конформной калибровке гамильтониан для NS-сектора есть

Для R-сектора он есть

Заметим, что этот гамильтониан диагонален в фоковском пространстве гармонических осцилляторов. Это чрезвычайно важно, потому что это значит, что мы можем легко сделать переход от формализма Континуального интеграла к формализму гармонических осцилляторов. Ропагатор этой теории становится простым интегралом от экспо-Ненты, который легко берется.

Состояния теории, как и в бозонном секторе, представляются

Рис. 3.1. Реджевские траектории для NS-R-модели открытых струн. Бозонные состояния соответствуют фоковскому пространству, порожденному всеми возможными произведениями гармонических осцилляторов действующими на вакуум. Фермионные состояния соответствуют фоковскому пространству, порожденному всеми возможными произведениями гармонических осцилляторов действующими на вакуум; они являются пространственно-временными спинорами, а не скалярами. На левом рисунке безмассовая частица со спином 1 соответствует полям Максвелла или Янга-Миллса (все тахионные состояния, включая вакуумное, можно устранить применением GSO-проекции). На правом рисунке безмассовый фермион со спином 1/2 является суперсимметричным партнером безмассового векторного поля.

фоковским пространством произведений этих осцилляторов:

Здесь соответствует произвольному спинору, на который пока не наложено никаких связей. Ниже приведены некоторые низшие состояния обоих этих секторов (см. рис. 3.1):

Итак, мы обнаружили замечательное сходство между моделью NS-R и первоначальной бозонной струной. В обоих случаях мы начинаем с действия, находим его симметрии, порождаем токи, отвечающие этим симметриям, по токам строим алгебру и затем налагаем связи на гильбертово пространство. Основное отличие состоит в добавлений супертоков, которое порождает супералгебру (3.2.26) и (3.2.28).

Последний шаг в нашей стратегии поэтому состоит в применении этой суперконформной алгебры к гильбертову пространству модели NS-R Условия, устраняющие духи, суть

для положительных Однако для того, чтобы найти условия массовой поверхности, нам придется теперь исследовать древесные амплитуды модели NS-R.