§ 9.6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ АНОМАЛИИ

Теперь, когда мы описали мощный аппарат, с помощью которого можно построить любой инвариантный полином, используя метод характеристических классов, исследуем аномалии в теориях, в которых спиноры взаимодействуют с калибровочными и гравитационными полями. Эти аномалии вычислили Альварес-Гоме и Виттен [12]. Начнем с обзора некоторых элементарных свойств спиноров.

В любой четной размерности к матрицы Дирака являются комплексными -мерными матрицами. Эти матрицы Дирака расщепляются на представления положительной и отрицательной киральности. При нечетном числе измерений матрицы Дирака также являются -мерными, но в этом случае существует только одно представление. При нечетном нет состояний положительной и отрицательной киральности (и, следовательно, нет аномалии). Поэтому мы ограничимся рассмотрением четных размерностей.

Введем матрицу

Тогда

Таким образом, имеет собственные значения если Следовательно, при СТР-преобразовании киральность любого выделенного состояния не меняется. Состояния положительной киральности отображаются в положительные и аналогично для состояний отрицательной киральности. Получаем

Таким образом, числа состояний положительной и отрицательной киральности могут быть не равны, и, следовательно, возможно появление аномалии.

Однако имеет собственные значения, равные если Следовательно, при СРТ-преобразовании состояния с образуются в состояния с Состояния положительно киральности превращаются в состояния отрицательной киральности и наоборот:

Если , то состояния положительной и отрицательной киральности встречаются парами и гравитационное взаимодействие не приводит к аномалиям.

Вывод: гравитационные аномалии возможны только при Проанализируем теперь спиноры Дирака, Вейля и Майораны. Вейлевские фермионы могут быть определены в любой четной размерности. Это связано с тем, что оператор может быть задан в любой четной размерности. Спиноры же Майораны могут существовать в измерениях. Состояния, которые одновременно являются майорановскими и вейлевскими, могут быть введены только в размерности . Соберем результаты в таблицу:

Нас интересует частный случай фермионов Майораны-Вейля при

В десяти измерениях три типа частиц во внутренних линиях Диаграмм Фейнмана могут давать вклад в гравитационную аномалию:

(1) фермионы спина 1/2, взаимодействующие с внешними гравитонами,

(2) фермионы спина 3/2, взаимодействующие с внешними гравитонами, и

(3) антисимметричные тензорные поля ранга 4, взаимодействующие с гравитонами.

Нетрудно понять, почему спиноры должны давать вклад в аномалию. Их пропагаторы сходятся только как и обычные методы регуляризации, такие как методы Паули-Вилларса и метод размерной регуляризации, оказываются неприменимыми, потому что мы берем киральные поля с множителями

Автодуальный антисимметричный тензор четвертого ранга также должен рассматриваться, потому что для этого тензора не существует ковариантного действия. В силу того что он не может быть корректно определен ковариантно, а только в калибровке светового конуса, можно что он содержит аномалию.

Начнем с частицы спина 1/2, взаимодействующей с гравитоном:

Разложим репер в окрестности репера 5° плоского пространства

Нас интересует низший порядок взаимодействия поля репера (тетрады) со спинором:

Особенно нас интересует однопетлевая диаграмма с фермионами спина 1/2 во внутренних линиях, взаимодействующими с внешними гравитационными линиями. Первый член дает стандартную трехчастичную вершинную функцию с фейнмановской вершиной, состоящей из одного импульса и комбинации тензоров поляризации. Второй член, однако, является четырехточечным фейнмановским графом, так называемой «чайкой».

На первый взгляд кажется безнадежным вычислять однопетлевую фермионную диаграмму с произвольным числом гравитонных линий, но существуют обходные пути сведения вычислений к достаточно простой задаче. В частности, используя соображения симметрии, находим, что эту задачу можно свести к задаче рассеяния заряженной скалярной частицы, взаимодействующей с постоянным электромагнитным полем. К счастью, задача описания заряженных скаляров в КЭД хорошо изучена и ее решение известно. Таким образом, ключом к решению проблемы является сведение сложной задачи к одной из уже известных.

Этот обходной маневр обобщается также для двух других случаев. Нас также интересует рассеяние внутренних полей спина 3/2 и антисимметричных тензорных полей на внешних гравитонах. Соображения симметрии снова позволяют свести проблему к более простой. Циркулирующая во внутренних линиях частица спина 3/2 может быть сведена к внутренней векторной частице, а антисимметричное тензорное поле может быть сведено к частице спина 1/2:

Используя правила Фейнмана, нетрудно построить многоугольный граф. Известно, что амплитуда рассеяния частиц спина 1/2 может быть представлена как

где М - регуляризующая масса, а

и где тензор поляризации внешнего гравитона может быть задан следующим образом:

Заметим, что в этом уравнении можно по-разному выбирать поляризацию внешнего гравитона как произведения двух векторов поляризации частиц спина 1. Это решающее обстоятельство позволяет переписать исходную амплитуду рассеяния частиц спина 2 через амплитуду рассеяния частиц спина 1.

Теперь сведена к амплитуде рассеяния распространяющейся заряженной скалярной частицы (заряда 1/4), взаимодействующей с постоянным электромагнитным полем, которая была вычислена Швингером [13] десять лет назад. Представим электромагнитное поле в виде

Выше в (9.3.5) мы использовали функциональный формализм для того, чтобы показать, что аномальный член связан с логарифмом от Детерминанта пропагатора. Мы показали, что

При этом равно

Швингер доказал, что

где В - эффективное магнитное поле для заданного электромагнитного - заряд. (Мы представим более общее доказательство этого утверждения в конце этой главы.) Антисимметрический тензор Максвелла

нельзя диагонализовать, но всегда можно привести к следующему виду:

Тогда аномальный вклад равен

Как и ожидалось, это выражение в точности совпадает с выражением для индекса оператора Дирака или интегралом от А.

Затем мы должны вычислить аномалию для внутренней петли фермионов спина 3/2, взаимодействующих с произвольным числом внешних гравитонов. И опять используются соображения симметрии для сведения задачи к более простой. Действие для частицы спина 3/2, взаимодействующей с гравитацией, имеет вид

Заметим, что спинор имеет как векторный индекс так и спинорный индекс, который мы опускаем. Как и выше, выпишем члены взаимодействия только низкой степени по полям

И снова общий вид однопетлевой амплитуды можно записать в форме

где представляет амплитуду рассеяния внутреннего заряженного векторного мезона, взаимодействующего с постоянным электрическим полем. Выпишем эффективную теорию заряженных векторных мезонов, воспроизводящую до одной петли:

где

Все определители могут быть вычислены явно, и мы получаем

Последний аномальный член, который мы хотим вычислить, происходит из вклада антисимметричного тензорного поля. Следует быть осторожным при вычислении аномалии для тензорной частицы, поскольку для этой частицы не определено ковариантное действие. Итак, рассмотрим антисимметричное тензорное поле в 4 к измерениях и его кривизну:

Если мы наложим на этот тензор условия автодуальности

то возникнут затруднения. Можно показать, что в силу тождеств Бьянки условия авто дуальности эквивалентны уравнениям движения. Другими словами, обычным уравнениям движения, следующим из стандартного действия

удовлетворяют не только автодуальные, но и антиавтодуальные поля. В этом и заключается проблема. Можно доказать, что такого ковариантного действия, для которого распространяющимися будут только Ютодуальные поля, не существует [14].

Однако для вычисления амплитуды рассеяния можно действовать входным путем. Хотя для тензорной частицы и не существует ковариантного действия, правила Фейнмана для нее могут быть записаны ковариантно. Трюк заключается в использовании спинорного имитирующего антисимметричное тензорное поле.

Тензор энергии-импульса для этого поля имеет вид

К счастью, все фейнмановские правила для антисимметричного тензора Известны, даже если действия для него не существует. Запишем теперь этот антисимметричный тензор в терминах полей. Положим по определению

Отсюда получаем

Использование этого вложения выгодно тем, что с фермионными полями работать намного легче, чем с антисимметричными тензорами. Двухточечная функция имеет вид

Окончательно амплитуда может быть записана в виде

где представляет взаимодействие заряженного скаляра с внешними фотонами:

Известно, однако, что

Окончательное выражение для вклада антисимметричного тензорного поля в аномалию имеет вид

Конечно, мы также должны вычислить вклад в аномалию внешних калибровочных полей. Это вычисление полностью идентично тому» которое мы уже провели, только теперь мы должны брать калибровочных частиц, соответствующих генераторам калибровочной симметрии.

Соберем (9.6.18), (9.6.24) и (9.6.35) вместе, включая вклад от смешанных аномалий из калибровочного сектора. Запишем для удобства полный вклад в аномалию в терминах что является, как показ в (9.4.7), подходящей формой для записи аномалии, поскольку можно показать, что в таком виде аномальный член явно удовлетворяет условию согласованности Весса-Зумино. Имеем

где R тензор кривизны, - тензор Янга-Миллса. Это и есть наш окончательный результат. На первый взгляд, только ряд чудесных совпадений может обратить в нуль это ужасное выражение. Однако в данном случае это как раз и происходит. Необходимо, в частности, показать, что модель струны согласуется со следующими условиями: что обращает в нуль половину слагаемых в выражении для аномалии;

(II) остающиеся ненулевые члены могут быть переписаны в факторизованном виде; и

(III) можно сократить факторизованные члены с другими, возникающими из эффективного действия точечной частицы.

Замечательно, что все эти три условия могут быть наложены одновременно.

Во-первых, условию (I) легко удовлетворить, положив Тогда большое число членов в (9.6.36) обращается в нуль. (В следующей главе мы предъявим -модель, в которой можно устранить эти члены выбора другого представления для киральных полей.)

Во-вторых, хотя условию (II) удовлетворить намного труднее, но Можно показать, что остающиеся в (9.6.36) члены факторизуются в произведение двух членов, если может быть переписан в терминах т. е.

это странное уравнение выполняется, то мы имеем следующее сведение:

Аномалия (9.6.36) обратится в нуль, если и если

Кажется замечательным, что при выполнении этих жестких соотношений в любом случае можно удовлетворить условию (II).

Чтобы удовлетворить условию (II), необходимо проверить, какие группы Ли совместимы с этим странным ограничением (9.6.37). Заметим, что след матриц алгебры Ли калибровочной группы был определен в присоединенном представлении. При вычислении следа в фундаментальном представлении (см. приложение) мы будем использовать символ

Доказательство существования групп, удовлетворяющих условию (9.6.37), проводится непосредственно. Во-первых, известно, что в фундаментальном представлении алгебры матрица может быть представлена как антисимметричная -матрица. В присоединенном представлении можно записать в виде

Можно подставить явное выражение для в формулу следа для Получаем

Для того чтобы удовлетворить условию факторизации, необходимо устранить ряд членов, содержащих шестую степень кривизны Заметим, что это возможно при и соответствующая этому значению алгебра имеет в точности 496 генераторов. Итак, мы снова возвращаемся к группе

Доказательство того, что группа также удовлетворяет (9.6.37), несколько сложнее. Нам необходимо узнать, позволяют или нет коэффициенты Клебша-Гордона этой группы записать независимые инварианты, что дало бы нам возможность осуществить свертку четырех или шести С точки зрения математики нам необходимо выяснить, существуют ли для этой группы независимые операторы Казимира порядка четыре и шесть. К счастью, есть теорема, говорящая о том, что если группа гомотопий содержит то существует независимый оператор Казимира порядка (Гомотопия есть способ образования классов эквивалентности, элементами которых являются не пространства или поверхности, а непрерывные отображения.) Можно показать, что первыми гомотопическими группами, удовлетворяющими этому условию, являются

Таким образом, единственный представляющий интерес независимый инвариант имеет порядок два. Его существование означает, что не являются независимыми и могут быть переписаны в терминах Последним шагом является явное вычисление коэффициента, появляющегося в Поскольку нас интересует только общий коэффициент, его всегда можно вычислить, выбирая специальное

лредставление подгруппы в при этом присоединенное представление 248 может быть разложено относительно в прясло сумму Таким образом, для может быть доказано так же, как и для (Можно показать, что это уравнение тривиально удовлетворяется и для групп

Это еще не окончательный ответ. Необходимо еще показать, что выполняется условие (III) и существует эффективный низкоэнергетический контрчлен окончательно уничтожающий аномалию. Если мы наивно возьмем десятимерную киральную супергравитацию, взаимодействующую с 496 полями супер-Янга-Миллса, то найдем, что член обращается в нуль. Следовательно, десятимерная киральная супергравитация должна быть отброшена как неприемлемая квантовая теория. Однако теория суперструн в пределе нулевого наклона имеет новые члены взаимодействия, которые могут аннулировать оставшиеся члены.

В низкоэнергетическом приближении суперструны могут иметь в своем действии больше членов, чем появляется в действии десятимерной киральной супергравитации. Сначала это может показаться удивительным, потому что супергравитация является низкоэнергетическим пределом теории суперструн. Однако даже на низкоэнергетических уровнях существует различие: сумма по всему бесконечному числу состояний Редже будет, вообще говоря, давать нам больше фейнмановских графов, чем можно наивно ожидать. (Например, теория Янга-Миллса имеет действие, содержащее в лагранжиане поля не старше четвертой степени. Однако первично квантованная теория струн предсказывает только трехреджеонные взаимодействия. Где же недостающая четырехчастичная вершина? Она получается суммированием по бесконечному числу состояний Редже, что даст нам эффективные четырехчастичные состояния в низкоэнергетическом пределе. Вообще говоря, деревья и петли более высокой степени дают нам все члены, необходимые для получения теории Янга-Миллса и гравитации.)

Действительно, можно показать, что на древесном уровне существует эффективный член, который будет сокращать аномальный член. Чтобы показать это, выпишем сначала 12-форму

которая может быть переписана в виде

в силу тождеств

Имеем также

где - 3-формы Черна-Саймонса, соответствующие либо связности Янга-Миллса либо связности Лоренца Хотелось бы записать -форму которую мы аккуратно вычислили, в терминах новой 10-формы чтобы условия согласованности Весса-Зумино явно удовлетворялись. Как и в (9.4.10), наша стратегия заключается в нахождении члена при помощи конструирования таких форм что

Оказывается, что при переходе от -формы к 10-форме в конечном выражении появляется произвольная константа а. Нетрудно показать, что от можно перейти к 11-форме, а потом к 10-форме. Выпишем окончательный результат:

где -произвольная константа, а также

где для и X имеем следующие выражения:

Собирая все вместе, получаем для следующее выражение:

Это и есть тот самый множитель который мы хотели вычислить. Теперь необходимо выяснить, может ли десятимерная супергравитация, взаимодействующая с теорией супер-Янга-Миллса, давать в аномальный член вклад, сокращающий Используя все эти тождества, нетрудно показать, что добавление следующего эффективного действия даст новый вклад в аномальный член, в точности сокращающий

Здесь а - константа, и -формы Черна-Саймонса, - спинорная связность, а появляющаяся в суперсимметричной теории Янга-Миллса, взаимодействующей с десятимерной супергравитацией (действие Чаплина-Мантона). Тщательное сравнение показывает, что мы получим свободную от аномалий теорию, если выберем вариацию поля В в виде

Важно заметить, что это выражение не является обычной вариацией поля В, которую используют в теории супергравитации. Следовательно, супергравитационное действие Чаплина-Мантона не свободно от аномалий. Это обескураживает, пока мы не поймем, что в теории суперструн есть эффективные члены, возникающие из петель и суммирования по бесконечному числу резонансных состояний. Поэтому можно получить вариацию поля В вида (9.6.53) и приемлемую теорию супергравитации. Следующая проблема состоит в том, чтобы показать в явном виде, что, как и обещано, сокращение аномалий имеет место. Во-первых, следует показать, что поле В может иметь правильную вариацию, такую что все аномалии сокращаются. Во-вторых, следует показать, что этого действительно можно достичь таким способом.

Удивительно, но сокращение аномалий для всей суперструны оказывается много проще, чем сокращение аномалий для точечной частицы супергравитационной системы!