Главная > Введение в теорию суперструн
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 9.8. ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ АТЬИ-ЗИНГЕРА ОБ ИНДЕКСЕ

Мы хотим доказать теорему Атьи-Зингера [16] об индексе для операторов Дирака. Поскольку большинство теорем об индексе может быть выведено из комплекса Дирака, нам необходимо доказать теорему только для этого случая. Доказательство теоремы Атьи-Зингера в его первоначальном варианте было недоступно для многих физиков в силу его математической сложности. Однако недавно физики дали замечательно простое доказательство теоремы, использующее подход суперсимметричной сигма-модели. С использованием суперсимметрии

доказательство теоремы Атьи-Зингера может быть выражено на хорошо известном физикам языке [17, 18]. Новый вывод теоремы основан на том факте, что суперсимметричная нелинейная сигма-модель имеет суперсимметричный генератор, совпадающий с операторов Дирака, т.е.

Чтобы развить аналогию между и оператором Дирака, начнем с рассмотрения суперсимметричной теории с суперсимметричным генератором и сопряженным к нему Поскольку антикоммутатор с пропорционален и поскольку совпадает с энергией, имеем

Проанализируем собственные состояния гамильтониана:

Следовательно, если состояние имеет нулевую энергию, то

Однако если бозонное состояние или фермионное состояние имеют ненулевую энергию Е, то переводит одно в другое:

Это сильные утверждения, поскольку они означают, что

(1) Энергия равна нулю или положительна; она никогда не бывает отрицательна.

(2) Состояния с нулевой энергией не должны встречаться в бозон-фермионных парах. Такие состояния суперсимметричны сами по себе, т.е. они аннигилируются оператором

(3) Состояния с ненулевой энергией не аннигилируются оператором а образуют суперсимметричные пары бозонов и фермионов, переходящих друг в друга под действием оператора

Введем теперь оператор где - фермионное число. Для состояний с ненулевой энергией число фермионов и бозонов должно быть одинаковым. Однако, как мы видели, это не должно выполняться для состояний с нулевой энергией. Построим индекс Виттена подсчитывающий разность между числом бозонных и фермионных состояний с нулевой энергией:

Заметим, что если энергия состояния изменяется, то число бозонов и фермионов, переходящих в состояние с нулевой энергией или покй дающих его, должно быть равным. Они должны возникать и исчеза парами, поскольку индекс является топологическим инвариантом

Следовательно, можно также записать

для любого Заметим, что состояния с ненулевой энергией не дают вклада в след по всем состояниям, поскольку образованы равным числом состояний с противоположными фермионными числами. Поэтому, как мы и видели выше, след берется только по состояниям с нулевой энергией.

Обсудим теперь индекс оператора Дирака. Ранее в (9.5.4) мы видели, что этот индекс просто подсчитывает разность между числом нулевых мод положительной и отрицательной киральности. Следовательно, по определению имеем

где

То, что фермионы могут переходить в состояние с нулевой энергией (нулевые моды) или покидать его только киральными парами, аналогично ситуации, с которой мы сталкивались прежде в суперсимметричном случае. Следовательно, для состояний с произвольными собственными значениями оператора индекс может быть обобщен:

Таким образом, нашей целью является построение суперсимметричной модели, что сделает это соответствие точным. К счастью, нелинейная суперсимметричная сигма-модель обладает этим свойством. Поэтому, вычисляя индекс для суперсимметричной сигма-модели, мы будем автоматически получать индекс оператора Дирака. Таким образом, имеем соответствие

Начнем с определения лагранжиана для оператора положения и его суперпартнера являющихся функциями от фиктивной переменной собственного времени I:

Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования суперсимметрии

(Сравните это с действием NS-R в (3.2.1), предположив независимость от всех его членов.) Канонические коммутационные соотношения имеют вид

При этом генератор суперсимметрии равен

где

Заметим, что если действует на произвольное пространственно-временное спинорное состояние, то следует заменить на на так что становится равным что совпадает с оператором Дирака.

Нашей следующей целью является добавление калибровочных и гравитационных полей, чтобы получить теоремы об индексе для произвольных многообразий и калибровочных групп. Введем фермионное поле 0. Тогда в суперпространстве можно ввести следующие поля:

Оператор суперсимметрии в суперпространстве выглядит следующим образом:

так что Введем теперь калибровочные поля

которые также являются суперполями. Наконец, чтобы завершить построение действия, мы также должны ввести еще одно суперполе, являющееся калибровочным объектом:

Собирая все вместе, получаем следующее выражение для

суперсимметричного действия:

где к - одномерная «метрика», явный вид которой несуществен, и

После избавления от всех вспомогательных полей получаем

где

и где - тензор Янга-Миллса, а - обычные символы Кристоффеля, определенные не в -пространстве, а в реальном -мерном пространстве-времени. Можно показать, что генератор суперсимметрии является оператором Дирака.

Следующим шагом является вычисление индекса суперсимметрии, который, как мы знаем, должен совпадать с индексом оператора Дирака. Киральная аномалия, как мы видели ранее в (9.5.16), может быть записана в терминах функции Грина ядра теплопроводности:

где

Мы знаем из гл. 1, что эта функция Грина может быть переписана на языке континуальных интегралов как функциональный интеграл от Действия. Основное отличие от найденных в гл. 1 функциональных Ивтегралов заключается в том, что собственные функции должны быть Периодическими по подходящему времени. Это связано с тем, что Функция Грина является матричным элементом от а не от Таким образом, время становится мнимым (т. е. функции становятся периодическими). Мы будем использовать функциональный интеграл

где ПГУ означает периодические граничные условия. Следовательно, вычисляя этот функциональный интеграл для одномерной сигма-модели (с полями, зависящими от одной переменной мы автоматически

вычисляем индекс оператора Дирака для D-мерного многообразия! Для того чтобы вычислить этот континуальный интеграл, мы должны выполнить интегрирование в окрестности классического решения:

Выполним сначала интегрирование по х. Если мы разложим по степеням в окрестности решения то найдем, что квадратичная часть действия включает член

где матрица, определяемая через тензор кривизны:

К счастью, это функциональное интегрирование выполнить легко. Как и раньше, гауссово интегрирование (9.8.29) дает детерминант

где детерминант не включает постоянных мод. Этот детерминант может быть легко вычислен подстановкой в него полного набора собственных состояний. Однако эти собственные состояния периодичны по собственному времени Таким образом, получаем следующий результат:

где произведение по целым числам к возникает вследствие того, что при вычислении детерминанта мы вставляем периодические функции, удовлетворяющие условию

Мы также использовали равенство

Аналогично можно разложить в ряд в окрестности и

проинтегрировать по Таким способом мы получим вклад в интеграл от калибровочных полей. Уравнение движения для поля отличается от найденного ранее для поля В представлении Гейзенберга оно имеет вид

где

Это означает, что эволюция поля является следующей:

Таким образом, вклад этого поля в интеграл заключается в умножении на коэффициент Следовательно, наша окончательная формула для ядра теплопроводности имеет вид

Здесь кривизна калибровочного и гравитационного полей записана в терминах а хотелось бы переписать ее в терминах возможно, поскольку мы должны еще выполнить функциональное интегрирование по всем фоновым полям Поскольку это интегрирование по грассмановозначным полям, в результате остается только член, пропорциональный

Затем мы интегрируем полученное выражение по D-мерному пространству. Однако это эквивалентно подстановке только D-мерных антисимметричных комбинаций форм кривизны

к последующему интегрированию по D-мерному пространству. Это Интегрирование автоматически дает антисимметричное произведение Тейзоров, так что мы можем свободно заменить поскольку окончательное выражение на зависит от того, используем мы или Таким образом, окончательное выражение для аномального члена дается формулой

Итак, мы получили теорему Атьи-Зингера для оператора Дирака на замкнутых ориентируемых многообразиях без края (см. (9.4.26) и (9.5.18)).

Детерминант в правой части может быть вычислен «диагонализацей» -формы кривизны и записи ее в терминах ее собственных значений Таким образом, мы воспроизводим Л-род, приведенный в (9.4.26).

Выражение для индекса оператора может быть записано как интеграл от произведения двух -форм кривизны, одна из которых - для гравитационной части, а другая - для калибровочной части. Для завершенности выпишем четыре классических комплекса и связанные с ними теоремы об индексе:

где - эйлерова характеристика, - характеристика Тодда, - характеристика Черна, где мы удвоили значение формы кривизны, - обычная характеристика Черна является комплексно сопряженным к при использовании комплексных координат для описания двумерной поверхности. (Мы будем обсуждать комплексные многообразия в гл. 11.)

1
Оглавление
email@scask.ru