Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9.8. ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ АТЬИ-ЗИНГЕРА ОБ ИНДЕКСЕМы хотим доказать теорему Атьи-Зингера [16] об индексе для операторов Дирака. Поскольку большинство теорем об индексе может быть выведено из комплекса Дирака, нам необходимо доказать теорему только для этого случая. Доказательство теоремы Атьи-Зингера в его первоначальном варианте было недоступно для многих физиков в силу его математической сложности. Однако недавно физики дали замечательно простое доказательство теоремы, использующее подход суперсимметричной сигма-модели. С использованием суперсимметрии доказательство теоремы Атьи-Зингера может быть выражено на хорошо известном физикам языке [17, 18]. Новый вывод теоремы основан на том факте, что суперсимметричная нелинейная сигма-модель имеет суперсимметричный генератор, совпадающий с операторов Дирака, т.е.
Чтобы развить аналогию между
Проанализируем собственные состояния гамильтониана:
Следовательно, если состояние имеет нулевую энергию, то
Однако если бозонное состояние
Это сильные утверждения, поскольку они означают, что (1) Энергия равна нулю или положительна; она никогда не бывает отрицательна. (2) Состояния с нулевой энергией не должны встречаться в бозон-фермионных парах. Такие состояния суперсимметричны сами по себе, т.е. они аннигилируются оператором (3) Состояния с ненулевой энергией не аннигилируются оператором Введем теперь оператор
Заметим, что если энергия состояния изменяется, то число бозонов и фермионов, переходящих в состояние с нулевой энергией или покй дающих его, должно быть равным. Они должны возникать и исчеза парами, поскольку индекс является топологическим инвариантом Следовательно, можно также записать
для любого Обсудим теперь индекс оператора Дирака. Ранее в (9.5.4) мы видели, что этот индекс просто подсчитывает разность между числом нулевых мод положительной и отрицательной киральности. Следовательно, по определению имеем
где
То, что фермионы могут переходить в состояние с нулевой энергией (нулевые моды) или покидать его только киральными парами, аналогично ситуации, с которой мы сталкивались прежде в суперсимметричном случае. Следовательно, для состояний с произвольными собственными значениями оператора
Таким образом, нашей целью является построение суперсимметричной модели, что сделает это соответствие точным. К счастью, нелинейная суперсимметричная сигма-модель обладает этим свойством. Поэтому, вычисляя индекс для суперсимметричной сигма-модели, мы будем автоматически получать индекс оператора Дирака. Таким образом, имеем соответствие
Начнем с определения лагранжиана для оператора положения
Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования суперсимметрии
(Сравните это с действием NS-R в (3.2.1), предположив независимость от
При этом генератор суперсимметрии равен
где
Заметим, что если Нашей следующей целью является добавление калибровочных и гравитационных полей, чтобы получить теоремы об индексе для произвольных многообразий и калибровочных групп. Введем фермионное поле 0. Тогда в суперпространстве можно ввести следующие поля:
Оператор суперсимметрии в суперпространстве выглядит следующим образом:
так что
которые также являются суперполями. Наконец, чтобы завершить построение действия, мы также должны ввести еще одно суперполе, являющееся калибровочным объектом:
Собирая все вместе, получаем следующее выражение для суперсимметричного действия:
где к - одномерная «метрика», явный вид которой несуществен, и
После избавления от всех вспомогательных полей получаем
где
и где Следующим шагом является вычисление индекса суперсимметрии, который, как мы знаем, должен совпадать с индексом оператора Дирака. Киральная аномалия, как мы видели ранее в (9.5.16), может быть записана в терминах функции Грина ядра теплопроводности:
где
Мы знаем из гл. 1, что эта функция Грина может быть переписана на языке континуальных интегралов как функциональный интеграл от Действия. Основное отличие от найденных в гл. 1 функциональных Ивтегралов заключается в том, что собственные функции должны быть Периодическими по подходящему времени. Это связано с тем, что Функция Грина является матричным элементом от
где ПГУ означает периодические граничные условия. Следовательно, вычисляя этот функциональный интеграл для одномерной сигма-модели (с полями, зависящими от одной переменной вычисляем индекс оператора Дирака для D-мерного многообразия! Для того чтобы вычислить этот континуальный интеграл, мы должны выполнить интегрирование в окрестности классического решения:
Выполним сначала интегрирование по х. Если мы разложим по степеням в окрестности решения
где
К счастью, это функциональное интегрирование выполнить легко. Как и раньше, гауссово интегрирование (9.8.29) дает детерминант
где детерминант не включает постоянных мод. Этот детерминант может быть легко вычислен подстановкой в него полного набора собственных состояний. Однако эти собственные состояния периодичны по собственному времени
где произведение по целым числам к возникает вследствие того, что при вычислении детерминанта мы вставляем периодические функции, удовлетворяющие условию
Мы также использовали равенство
Аналогично можно разложить в ряд в окрестности проинтегрировать по
где
Это означает, что эволюция поля
Таким образом, вклад этого поля в интеграл заключается в умножении на коэффициент
Здесь кривизна калибровочного и гравитационного полей записана в терминах
Затем мы интегрируем полученное выражение по D-мерному пространству. Однако это эквивалентно подстановке только D-мерных антисимметричных комбинаций форм кривизны
к последующему интегрированию по D-мерному пространству. Это Интегрирование автоматически дает антисимметричное произведение Тейзоров, так что мы можем свободно заменить
Итак, мы получили теорему Атьи-Зингера для оператора Дирака на замкнутых ориентируемых многообразиях без края (см. (9.4.26) и (9.5.18)). Детерминант в правой части может быть вычислен «диагонализацей» Выражение для индекса оператора
где
|
1 |
Оглавление
|