§ 9.8. ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ АТЬИ-ЗИНГЕРА ОБ ИНДЕКСЕ

Мы хотим доказать теорему Атьи-Зингера [16] об индексе для операторов Дирака. Поскольку большинство теорем об индексе может быть выведено из комплекса Дирака, нам необходимо доказать теорему только для этого случая. Доказательство теоремы Атьи-Зингера в его первоначальном варианте было недоступно для многих физиков в силу его математической сложности. Однако недавно физики дали замечательно простое доказательство теоремы, использующее подход суперсимметричной сигма-модели. С использованием суперсимметрии

доказательство теоремы Атьи-Зингера может быть выражено на хорошо известном физикам языке [17, 18]. Новый вывод теоремы основан на том факте, что суперсимметричная нелинейная сигма-модель имеет суперсимметричный генератор, совпадающий с операторов Дирака, т.е.

Чтобы развить аналогию между и оператором Дирака, начнем с рассмотрения суперсимметричной теории с суперсимметричным генератором и сопряженным к нему Поскольку антикоммутатор с пропорционален и поскольку совпадает с энергией, имеем

Проанализируем собственные состояния гамильтониана:

Следовательно, если состояние имеет нулевую энергию, то

Однако если бозонное состояние или фермионное состояние имеют ненулевую энергию Е, то переводит одно в другое:

Это сильные утверждения, поскольку они означают, что

(1) Энергия равна нулю или положительна; она никогда не бывает отрицательна.

(2) Состояния с нулевой энергией не должны встречаться в бозон-фермионных парах. Такие состояния суперсимметричны сами по себе, т.е. они аннигилируются оператором

(3) Состояния с ненулевой энергией не аннигилируются оператором а образуют суперсимметричные пары бозонов и фермионов, переходящих друг в друга под действием оператора

Введем теперь оператор где - фермионное число. Для состояний с ненулевой энергией число фермионов и бозонов должно быть одинаковым. Однако, как мы видели, это не должно выполняться для состояний с нулевой энергией. Построим индекс Виттена подсчитывающий разность между числом бозонных и фермионных состояний с нулевой энергией:

Заметим, что если энергия состояния изменяется, то число бозонов и фермионов, переходящих в состояние с нулевой энергией или покй дающих его, должно быть равным. Они должны возникать и исчеза парами, поскольку индекс является топологическим инвариантом

Следовательно, можно также записать

для любого Заметим, что состояния с ненулевой энергией не дают вклада в след по всем состояниям, поскольку образованы равным числом состояний с противоположными фермионными числами. Поэтому, как мы и видели выше, след берется только по состояниям с нулевой энергией.

Обсудим теперь индекс оператора Дирака. Ранее в (9.5.4) мы видели, что этот индекс просто подсчитывает разность между числом нулевых мод положительной и отрицательной киральности. Следовательно, по определению имеем

где

То, что фермионы могут переходить в состояние с нулевой энергией (нулевые моды) или покидать его только киральными парами, аналогично ситуации, с которой мы сталкивались прежде в суперсимметричном случае. Следовательно, для состояний с произвольными собственными значениями оператора индекс может быть обобщен:

Таким образом, нашей целью является построение суперсимметричной модели, что сделает это соответствие точным. К счастью, нелинейная суперсимметричная сигма-модель обладает этим свойством. Поэтому, вычисляя индекс для суперсимметричной сигма-модели, мы будем автоматически получать индекс оператора Дирака. Таким образом, имеем соответствие

Начнем с определения лагранжиана для оператора положения и его суперпартнера являющихся функциями от фиктивной переменной собственного времени I:

Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования суперсимметрии

(Сравните это с действием NS-R в (3.2.1), предположив независимость от всех его членов.) Канонические коммутационные соотношения имеют вид

При этом генератор суперсимметрии равен

где

Заметим, что если действует на произвольное пространственно-временное спинорное состояние, то следует заменить на на так что становится равным что совпадает с оператором Дирака.

Нашей следующей целью является добавление калибровочных и гравитационных полей, чтобы получить теоремы об индексе для произвольных многообразий и калибровочных групп. Введем фермионное поле 0. Тогда в суперпространстве можно ввести следующие поля:

Оператор суперсимметрии в суперпространстве выглядит следующим образом:

так что Введем теперь калибровочные поля

которые также являются суперполями. Наконец, чтобы завершить построение действия, мы также должны ввести еще одно суперполе, являющееся калибровочным объектом:

Собирая все вместе, получаем следующее выражение для

суперсимметричного действия:

где к - одномерная «метрика», явный вид которой несуществен, и

После избавления от всех вспомогательных полей получаем

где

и где - тензор Янга-Миллса, а - обычные символы Кристоффеля, определенные не в -пространстве, а в реальном -мерном пространстве-времени. Можно показать, что генератор суперсимметрии является оператором Дирака.

Следующим шагом является вычисление индекса суперсимметрии, который, как мы знаем, должен совпадать с индексом оператора Дирака. Киральная аномалия, как мы видели ранее в (9.5.16), может быть записана в терминах функции Грина ядра теплопроводности:

где

Мы знаем из гл. 1, что эта функция Грина может быть переписана на языке континуальных интегралов как функциональный интеграл от Действия. Основное отличие от найденных в гл. 1 функциональных Ивтегралов заключается в том, что собственные функции должны быть Периодическими по подходящему времени. Это связано с тем, что Функция Грина является матричным элементом от а не от Таким образом, время становится мнимым (т. е. функции становятся периодическими). Мы будем использовать функциональный интеграл

где ПГУ означает периодические граничные условия. Следовательно, вычисляя этот функциональный интеграл для одномерной сигма-модели (с полями, зависящими от одной переменной мы автоматически

вычисляем индекс оператора Дирака для D-мерного многообразия! Для того чтобы вычислить этот континуальный интеграл, мы должны выполнить интегрирование в окрестности классического решения:

Выполним сначала интегрирование по х. Если мы разложим по степеням в окрестности решения то найдем, что квадратичная часть действия включает член

где матрица, определяемая через тензор кривизны:

К счастью, это функциональное интегрирование выполнить легко. Как и раньше, гауссово интегрирование (9.8.29) дает детерминант

где детерминант не включает постоянных мод. Этот детерминант может быть легко вычислен подстановкой в него полного набора собственных состояний. Однако эти собственные состояния периодичны по собственному времени Таким образом, получаем следующий результат:

где произведение по целым числам к возникает вследствие того, что при вычислении детерминанта мы вставляем периодические функции, удовлетворяющие условию

Мы также использовали равенство

Аналогично можно разложить в ряд в окрестности и

проинтегрировать по Таким способом мы получим вклад в интеграл от калибровочных полей. Уравнение движения для поля отличается от найденного ранее для поля В представлении Гейзенберга оно имеет вид

где

Это означает, что эволюция поля является следующей:

Таким образом, вклад этого поля в интеграл заключается в умножении на коэффициент Следовательно, наша окончательная формула для ядра теплопроводности имеет вид

Здесь кривизна калибровочного и гравитационного полей записана в терминах а хотелось бы переписать ее в терминах возможно, поскольку мы должны еще выполнить функциональное интегрирование по всем фоновым полям Поскольку это интегрирование по грассмановозначным полям, в результате остается только член, пропорциональный

Затем мы интегрируем полученное выражение по D-мерному пространству. Однако это эквивалентно подстановке только D-мерных антисимметричных комбинаций форм кривизны

к последующему интегрированию по D-мерному пространству. Это Интегрирование автоматически дает антисимметричное произведение Тейзоров, так что мы можем свободно заменить поскольку окончательное выражение на зависит от того, используем мы или Таким образом, окончательное выражение для аномального члена дается формулой

Итак, мы получили теорему Атьи-Зингера для оператора Дирака на замкнутых ориентируемых многообразиях без края (см. (9.4.26) и (9.5.18)).

Детерминант в правой части может быть вычислен «диагонализацей» -формы кривизны и записи ее в терминах ее собственных значений Таким образом, мы воспроизводим Л-род, приведенный в (9.4.26).

Выражение для индекса оператора может быть записано как интеграл от произведения двух -форм кривизны, одна из которых - для гравитационной части, а другая - для калибровочной части. Для завершенности выпишем четыре классических комплекса и связанные с ними теоремы об индексе:

где - эйлерова характеристика, - характеристика Тодда, - характеристика Черна, где мы удвоили значение формы кривизны, - обычная характеристика Черна является комплексно сопряженным к при использовании комплексных координат для описания двумерной поверхности. (Мы будем обсуждать комплексные многообразия в гл. 11.)