§ 11.10. РЕЗЮМЕ

Мы убедились в том, что несколько физически осмысленных предположений о процессе компактификации привели к ценным феноменологическим предсказаниям. Хотя пока и не было предложено модели, предсказывающей все известные свойства низкоэнергетического спектра частиц, полученные качественные результаты обнадеживают. Выделим теперь логическую последовательность предположений, которые привели нас к конкретным заключениям.

Естественно было компактифицировать 10-мерное пространство на -мерный тор. Однако компактификация на -мерный тор переводит -суперсимметрию в 10 измерениях в -суперсимметрию в четырех измерениях. Поэтому следует рассмотреть новые предположения, которые могут привести к более приемлемым с точки зрения феноменологии следствиям.

Начнем со следующих предположений:

(1) 10-мерная вселенная компактифицирована к

где -максимально симметричное пространство,

а К - компактное многообразие.

(2) N = 1 локальная суперсимметрия остается ненарушенной после компактификации.

(3) Некоторые из бозонных полей могут быть занулены:

Предположение о выживании -суперсимметрии при компактификации является сильным предположением. Из него следует, что вариация фермионов должна равняться нулю:

Существование ковариантно постоянного спинора налагает на многообразие большое число ограничений. В частности, если мы продифференцируем еще раз уравнение то получим

Следовательно, можно показать, что пространство является риччи-плоским. Кроме того, можно показать, что это пространство имеет в качестве группы голономии. Мы определяем группу голономии как группу, порождаемую при переносе спинора по замкнутому пути вокруг любой фиксированной точки. В общем случае группой голономии в шести измерениях служит группа изоморфная группе Но если существует ковариантно постоянный спинор, то

Преобразованием из группы всякий спинор может быть приведен к виду

Это в свою очередь означает, что матрица действует только на три верхние компоненты столбца . Следовательно, матрица должна принадлежать подгруппе и поэтому пространство имеет группой голономии.

В общем случае, как известно, очень трудно работать с пространствами, имеющими -голономию. Однако можно показать, что эти пространства являются кэлеровыми, и использовать сильную теорему Калаби-Яу. Всегда можно определить тензор

удовлетворяющий что аналогично равенству обычного определения комплексных чисел, и использовать этот тензор для определения комплексного многообразия. Однако мы знаем, что этот тензор должен быть ковариантно постоянен (поскольку 8 ковариантно постоянен) и, следовательно, пространство является кэлеровым.

К счастью, можно показать, что риччи-плоские кэлеровы многообразия (имеющие поэтому нулевой первый класс Черна) эквивалентны многообразиям с (-голономией и могут быть легко построены. Таким образом, мы имеем логическую последовательность

Проблема, однако, заключается теперь в том, что мы получаем

при этом тысячи многообразий, сохраняющих (N = 1)-суперсимметрию!

До сих пор мы не нарушали калибровочную симметрию Следующий шаг - заметить, что тождества Бьянки в результате наших предположений приводят к нетривиальным уравнениям

Удивительно, но этому уравнению довольно трудно удовлетворить. Слева мы имеем формы кривизны риманова многообразия, а справа - формы кривизны Янга-Миллса. Для того чтобы разрешить это довольно странно выглядящее уравнение, следует погрузить спиновую связность в калибровочную связность, перемешивая, следовательно, пространственно-временное и групповое многообразия и нарушая при этом исходную калибровочную симметрию. Поскольку в римановом секторе мы имеем группу голономии то при отождествлении римановой и калибровочной связностей мы получим следующее нарушение калибровочной симметрии:

К счастью, это приводит к желаемым результатам. Известно, что не имеет киральных представлений в отличие от группы , следовательно, не является приемлемым кандидатом для построения моделей, а является. Действительно, при нарушении симметрии разложение присоединенного представления 248 группы имеет вид

Это доставляет удовлетворение, потому что представление 27 является наиболее подходящим представлением для кварков и лептонов в Теориях Великого Объединения с группой Таким образом, имеем

Следующий вопрос: сколько существует поколений фермионов в представлении 27? Обычно число поколений не имеет никакого отношения к калибровочной группе. В ТВО они между собой совершенно не связаны. Число поколений в ТВО может быть произвольным. Однако в теории струн отождествление спинорной и калибровочной связностей приводит к ограничению числа поколений. Вследствие этого отождествления калибровочные фермионы теперь связаны с внутренним многообразием Число поколений можно теперь рассматривать как топологическое число, поскольку разность между числом положительных И отрицательных киральных решений уравнений Дирака с нулевой

массой является топологическим числом. Конкретнее,

К сожалению, эйлерова характеристика риччи-плоских кэлеровых многообразий обычно очень велика, но всегда можно во много раз уменьшить это число переходом к подмногообразию. Например, всегда можно факторизовать по дискретной группе, сохраняющей некоторый полином из координат. Хорошим примером служит неодносвязное многообразие, получаемое из факторизацией по группе На этом многообразии существуют четыре поколения.

Далее мы хотим перейти от этой модели к стандартной модели с группой без нарушения -суперсимметрии. В обычной ситуации сделать это довольно трудно. При нарушении калибровочной группы до группы стандартной модели также нарушается и -суперсимметрия. Одним из решений этой проблемы является использование вильсоновских петель. Ранее мы видели, что рассматриваемые нами многообразия не являются односвязными, что необходимо для получения небольшого числа поколений. Для неодносвязных многообразий вильсоновская петля

не обязательно равна единице, даже если тензор кривизны равен нулю. Это связано с тем, что мы не всегда можем стянуть замкнутую петлю в точку. Таким образом, можно нарушить группу до подгруппы выбором вильсоновской петли так, что коммутирует со всеми элементами из Например, если взять в качестве группу то получим

К сожалению, хотя при использовании мы и получаем стандартную модель, при этом мы получаем и нежелательные группы Таким образом,

Орбиобразия, являющиеся, вероятно, предельным случаем многообразий Калаби-Яу, также можно использовать при компактификации суперструн. Орбиобразия возникают при факторизации тора по дискретной группе имеющей неподвижные точки:

(Эти неподвижные точки не портят свойств модели струн.) Нетривиальные ограничения налагаются на орбиобразия условием модулярной

инвариантности, нетривиально смешивающим граничные условия. Граничные условия

(где и элементы из могут нарушать симметрию модели струн. При этом выживают подгруппы пространственно-временной и внутренней групп, коммутирующие сдик. При диагонализации собственными значениями на диагонали, где для некоторого целого энергия нулевых колебаний для гамильтониана сдвигается на число, Пропорциональное Поскольку след по одной петле нечувствителен к энергии нулевых колебаний, модулярная инвариантность приводит к ограничению на собственные значения:

где - собственные значения для правого сектора, а -собственные значения для левого сектора. Если рассматривать еще и вильсоновские петли, то выживающий при компактификации группой будет подгруппа, коммутирующая с и вильсоновской петлей.

Для такой компактификации существует много решений, некоторые из которых приводят к трем поколениям и к группе содержащей слишком много множителей К сожалению, метод вильсоновских петель не меняет ранга группы, поэтому в общем случае мы получаем слишком много множителей

Большое преимущество орбиобразий перед многообразиями Калаби-Яу заключается в том, что они плоские, проще описываются и многие из них могут быть простроены явным образом. К сожалению, не существует классификации шестимерных орбиобразий и многообразий Калаби-Яу, позволившей бы перечислить и систематизировать тысячи подобных решений.

Одним из шагов в этом направлении является использование модулярной инвариантности и систематический вывод всех возможных решений из условия отсутствия тахионов и аномалий. Для начала запишем амплитуду как сумму по всем спинорным структурам:

Теперь потребуем, чтобы коэффициенты С факторизовались, были Модулярно инвариантны и приводили к моделям без тахионов и аномалий. Замечательно, что для уравнений на С можно получить решения. Простейшие из них воспроизводят уже известные компактификации, но Тысячи других компактификаций должны еще быть изучены. Возникает Надежда на то, что мы сможем получить реалистическую модель, если Переберем все возможные варианты.

Перечислим три направления поиска четырехмерных решений Во-первых, можно получить большой класс четырехмерных решений с помощью асимметричных орбиобразий. Гетеротическая струна, в которой левый и правый секторы рассматриваются независимо, дает пример асимметричной компактификации. Асимметричные орбиобразия образуют наиболее широкий класс изученных к настоящему моменту орбиобразий, и полученные с их помощью результаты существенно пересекаются с результатами, полученными с использованием других типов компактификации. (Кроме асимметричных орбиобразий существуют также неабелевы орбиобразия, получаемые факторизацией по неабелевым конечным группам, таким, как кристаллографические группы. Преимущество таких орбиобразий заключается в том, что с их помощью можно устранить часть нежелательных множителей а также получить три или четыре поколения. См. [40].)

Во втором подходе тщательно изучаются свойства суперструн типа II при компактификации. Особенно важной является теорема запрета, утверждающая, что после компактификации струны типа II никогда не приводят к стандартной модели, поскольку в этом случае конформная аномалия не может быть сокращена. Вклад компактифицированных фермионов должен быть равен 6, а для стандартной модели получаем 6.

Поэтому мы должны отбросить либо триплет кварков, либо дублет лептонов, либо струны типа II.

Наконец, были предприняты усилия по построению всех известных суперструн из струны Намбу. Эта идея не является такой уж фантастической, как можно было подумать, поскольку «избыточные» бозонные моды могут быть фермионизированы в суперсимметричные партнеры бозонных мод десятимерных струн. Однако проблема заключается в том, что после компактификации от 26 к 10 измерениям возникает слишком много частиц, которые должны быть каким-то образом удалены из модели. Хотя идея и представляется довольно ясной, существует ряд серьезных проблем на пути ее реализации.