Главная > Введение в теорию суперструн
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 11.3. КОГОМОЛОГИИ И ГОМОЛОГИИ

Какова связь между группами гомологий и когомологий для компактного многообразия? Можно показать, что из-за дуальности этих групп их размерности совпадают. Определим числа Бетти как размерности групп Н:

Пусть набор циклов, определенных на компактном многообразии М. Пусть набор определенных на М замкнутых форм. Теперь введем матрицу

Матрица называется матрицей периодов (см. (5.6.31) и (5.11.8)), и при достаточно общих предположениях можно показать, что эта матрица обратима. Поэтому она является -матрицей с ненулевым детерминантом. Но если матрица периодов является квадратной матрицей, действующей в пространстве измерений, то размерность пространства замкнутых форм со равна размерности пространства циклов что доказывает совпадение чисел Бетти для групп гомологий и когомологий. Это очень важный результат, потому что он означает, что можно использовать либо локальные (когомологии), либо глобальные (гомологии) свойства заданного многообразия для подсчета его чисел Бетти.

Важно также понимать, что числа Бетти являются топологическими числами, зависящими только от топологии многообразия. Таким образом, любая линейная комбинация чисел Бетти также является топологическим числом. В частности, наиболее важным среди них является эйлерова характеристика:

Для того чтобы понять свойства чисел Бетти, введем несколько операторов, в том числе лапласиан. Введем оператор Ходжа преобразующий -формы в -формы:

где является полностью антисимметричным тензором в пространстве измерений. Заметим, что

В -мерном пространстве внешнее произведение -формы и

-формы дает -форму, пропорциональную форме объема Таким образом, можно брать интеграл от внешнего произведения формы и -формы и получать вещественное число. Определим еще одно внутреннее произведение:

Введение определения скалярного произведения форм тотчас же позволяет нам определить оператор , сопряженный к оператору внешнего дифференцирования:

В явном виде сопряженный к оператор дается формулой

Мы также имеем

Отметим, что сопряженный оператор уменьшает степень дифференциальной формы на единицу, в то время как увеличивает ее на единицу. Определим теперь лапласиан как

Определим гармонические -формы условием:

Определим козамкнутые -формы условием:

Говорим, что -форма является коточной, если она может быть записана в виде

для некоторой -формы а.

Теперь мы можем сформулировать следующую важную теорему.

Теорема Ходжа. На компактном многообразии без края любая Рформа может быть единственным образом разложена на сумму точной, коточной и гармонической форм, т. е.

где - гармоническая форма.

Это сильный результат, поскольку можно показать, что каждый Когомологический класс содержит только одну гармоническую форму.

Чтобы увидеть это, построим сначала внутреннее произведение формы и лаплассиана от нее:

Таким образом, утверждение о гармоничности формы (которое дает ) эквивалентно точности и коточности формы (так как ). Действительно, можно показать, что

Но если то это означает, что и поэтому Следовательно, (11.3.14) редуцируется к

Таким образом, в каждом классе когомологий содержится единственный гармонический представитель.

Тот факт, что в каждом классе эквивалентности точных форм содержится один гармонический представитель, позволяет по-другому определить числа Бетти. Мы можем также сказать, что числа Бетти подсчитывают, сколько независимых гармонических форм существует на данном многообразии. Получаем следующее эквивалентное описание чисел Бетти:

Тем самым мы можем использовать любой из этих эквивалентных формализмов для вычисления чисел Бетти.

Последняя формулировка чисел Бетти (через независимые гармонические формы) дает нам еще одно определение. Множество гармонических форм можно рассматривать как ядро лаплассиана (т. е. те формы, которые этот оператор отображает в нуль). Итак, числа Бетти можно определить так:

Как мы увидим, полезно изучить свойства некоторых из этих чисел Бетти. Во-первых, всегда можно определить скалярное произведение для -мерного многообразия:

Поэтому эти два пространства содержат одинаковое число независимых

элементов. Следовательно,

Изоморфизм пространств и называется дуальностью Пуанкаре. Обычно мы будем брать тогда и

Другой способ доказательства дуальности Пуанкаре связан с тем обстоятельством, что если выбрана гармоническая форма, то и дуальная форма также является гармонической:

Поскольку число независимых гармонических форм равно числу Бетти, а оператор Ходжа переводит -формы в -формы, то мы снова получаем дуальность Пуанкаре.

Наконец, если мы имеем произведение многообразий, тогда эйлерова характеристика произведения многообразий равна произведению эйлеровых характеристик каждого многообразия:

Если переписать это через числа Бетти согласно (11.3.3), то получим

так называемую форму Кюннета для произведения многообразий.

Возьмем теперь несколько простейших поверхностей и вычислим их числа Бетти.

(1) Двумерный тор

Двумерный тор может быть разбит на циклы при помощи двух разрезов. Число независимых -циклов, которые можно натянуть на тор, равно двум. Итак, Далее, согласно дуальности Пуанкаре, имеем

Таким образом, эйлерова характеристика (11.3.3) тора равна

(2) Риманова поверхность

Как было показано в гл. 5, существует разрезов, которыми можно разделить риманову поверхность рода на независимые циклы. Каждой дырке или ручке соответствуют два таких цикла. Следовательно, . Имеем

Таким образом, эйлерова характеристика замкнутой римановой поверхности равна

(3)    N-сфера

Циклы на сфере конечно, всегда могут быть стянуты в точку. Поэтому на не существует независимых циклов. Следовательно,

Для эйлеровой характеристики получаем

В частности, поскольку

можно использовать правило произведения эйлеровых характеристик и показать, что эйлерова характеристика тора равна

что согласуется с приведенным выше вычислением.

(4) Произведение сфер

Используя (11.3.24), можно показать, что для произведения числа Бетти суть

Мы находим, что эйлерова характеристика равна нулю, как и следовало ожидать, поскольку эйлерова характеристика трехмерной сферы также равна нулю:

Аналогично можно взять произведение числа Бетти которого равны

Для эйлеровой характеристики получаем

(5) Четырехмерный тор

Можно представить -мерный тор как

В качестве простого упражнения можно показать, что формула Кюннета (11.3.24) для произведения многообразий дает

Подставляя полученные числа Бетти в формулу для эйлеровой характеристики, находим

как и следовало ожидать.

(6) Шестимерный тор

Для шестимерного тора имеем

Поэтому мы можем использовать формулу Кюннета для нахождения чисел Бетти произведения многообразий. Легко показать, что

Отсюда получаем, что эйлерова характеристика равна нулю:

Это следует также и из того факта, что каждый цикл в имеет нулевую эйлерову характеристику. Используя сформулированные выше простые правила, можно легко получить числа Бетти для

(7) Вещественное и комплексное проективные пространства

Пространство получается, если взять обычное комплексное -мерное пространство и отождествить

для некоторого ненулевого комплексного числа X. Это отождествление превращает комплексное -мерное пространство в комплексное проективное -мерное пространство. является обобщением вещественного проективного пространства которое получается после отождествления точек в -мерном вещественном пространстве по формуле

для некоторого ненулевого вещественного к. Пространство можно также получить отождествлением противоположных точек сферы Примерами вещественных и комплексных проективных пространств служат

Числа Бетти для них будут следующими:

и

Следовательно,

1
Оглавление
email@scask.ru