§ 8.9. ЗАМКНУТЫЕ СТРУНЫ И СУПЕРСТРУНЫ

В геометрическом формализме так же, как и для открытых струн, мы можем построить тензорное исчисление для замкнутых струн, основанное на тетрадах и связностях. Однако для замкнутых струн новая характерная черта - это отсутствие необходимости в транкировании или наложении связей извне, т. е. в операциях, являющихся основным недостатком подхода BRST. Ключевая особенность геометрической теории состоит здесь в существовании единственного вакуума для группы Diff(S). Как мы видели, духовые состояния есть не что иное, как коэффициенты Клебша-Гордона для , следовательно, в геометрическом подходе духовый вакуум не является фундаментальным физическим объектом. В сущности, специфические духовые поля, появляющиеся в BRST-формализме, представляют собой лишь один из нескольких способов получить коэффициенты Клебша-Гордона. Следовательно, духовый вакуум сам по себе не важен.

Тот факт, что духовый вакуум не является фундаментальным объектом, можно видеть уже на уровне открытых струн. Заметим, что контравариантная матрица

упрощается путем перемещения операторов направо до тех пор, пока они не аннигилируют с вакуумом справа. Конечно, в этом процессе возникает огромное количество членов, которые объединяются в матрицу что приводит к выражению

Очевидно, что всегда можно выбрать равным 1, так что М совпадает с Обратим внимание, что мы при этом пользовались только чисто теоретико-групповыми свойствами Diff(S), безо всякого упоминания «духовых вакуумов».

Повторим теперь то же самое вычисление, пользуясь явным духовым представлением. Например, выбирая получаем выражение

что явно бессмысленно. Таким образом, мы не можем наивно использовать духовый вакуум как замену специального вакуума группы

В действительности такой пример показывает, что эрмитово пряжение не сохраняет духовое число. Это обусловлено тем, что «счет духов» - это не внутреннее свойство группы Diff(S), а только свойство ее финального представления.

Повторим вычисление, приведенное выше для сектора открытых струн, чтобы найти матричный элемент но теперь мы будем использовать духовые координаты. На этот раз, извлекая урок из дредыдущего примера, предположим, что эрмитово сопряженным к вектору является вектор

Мы снова обнаруживаем разрушение матричного элемента при наивном выборе духового вакуума. Таким образом, истинный вакуум Diff(S) не обязан строго соответствовать или Еще раз мы находим, что «счет духов» не выживает при эрмитовом сопряжении.

Применим сейчас это значение к сектору замкнутых струн, в котором возможны четыре вакуума:

В подходе BRST мы вынуждены взять в качестве духового вакуума а в качестве его эрмитово сопряженного что приводит ко всем трудностям, связанным со счетом духов. Снова начнем рассуждать в рамках геометрического формализма, вооружившись тем фактом, что духовый вакуум и духовая арифметика - это не фундаментальные особенности Diff(S), а только особенности специального представления соответствующей алгебры.

Обратимся вновь к универсальной обертывающей алгебре

где - вакуум Diff(S). Как и выше, свободный пропагатор имеет вид

где мы имеем удвоение операторов дифференцирования. Как обычно, для образования из данного выражения инварианта необходим коэффициент Клебша-Гордона. Нам, очевидно, нужны матрицы

Повторяя рассуждения, найденные для открытой струны, мы видим, что Моно выбрать

Такой выбор не является обычным эрмитовым сопряжением духового вакуума. Но, как мы сказали выше, единственный критерий заключается

в том, чтобы получить постоянные матрицы преобразующиеся как коэффициенты Клебша-Гордона.

Для случая взаимодействующих струн определим триплет замкнутых струн, являющийся обобщением рис. 8.1, в котором три струны имеют топологию греческой буквы «тэта». Однако когда мы выписываем струнную группу для замкнутых струн в пространстве петель, возникают нетривиальные осложнения. Во-первых, поскольку замкнутые струны Не имеют концов и могут вращаться, антитриплет не существует. (Триплет в действительности есть свой собственный антитриплет.) Во-вторых в пространстве петель не существует антисимметричных структурных констант. Возможны только симметричные тензоры. В-третьих, тождество Якоби не замыкается правильным образом на триплетах. Хотя все это может разочаровывать, на самом деле решение существует.

Определим триплет как три замкнутые струны, которые можно расположить в виде «восьмерки» (т.е. конфигурации типа светового конуса, в которой три физические длины дают в сумме нуль). Пусть 1123 будет грассмановой переменной, определяемой в точке взаимодействия трех струн на этой восьмерке. Определим симметричный постоянный тензор: для триплетов, если внутренняя (внешняя) струна, (8.9.10)

О в противном случае,

Тогда струнная алгебра и тождества Якоби имеют вид

Отметим несколько особенностей струнной алгебры. Во-первых, сами структурные константы должны быть грассмановыми. Эта алгебра вовсе не является традиционной алгеброй Ли из-за грассманового оператора, определенного в точке расщепления. Тщательно выписав тождества Якоби для трех замкнутых струн (которые содержат теперь как коммутаторы, так и антикоммутаторы) и рассмотрев их граф за графом» убеждаемся, что результирующая сумма есть точный нуль.

Вводя в алгебру параметризацию, можно показать, что появляется обычная алгебра Ли, а таинственный оператор, определенный в распада струн, становится в действительности оператором «вставки духа», известным из теорий замкнутых струн. В [2] мы возможность локализации этой алгебры, а также находим действие, которое вновь есть форма Черны-Саймонса, ассоциированная с

Мы опишем кратко только геометрический подход для открытых суперструн. Снова мы можем ввести тетрады и поля связности с отличием, что все они теперь имеют суперсимметричных партнер

Для физической струны С к генератору струнной группы мы должны теперь добавить суперсимметричного партнера

Суперструнная группа являющаяся обобщением струнной группы определяется следующим образом:

Здесь структурные константы суть

и

Мы можем показать выполнение супертождеств Якоби. Основное поле, которое мы хотим проквантовать, теперь удваивается:

где Ф - функционал как бозонных, так и фермионных переменных:

Мы также можем ввести два неприводимых представления V и Как и ранее, важнейшее обстоятельство заключается в существовании собственного коэффициента Клебша-Гордона для разложения тензорного произведения. Для Superdiff(S) по-прежнему имеется обобщение представлений и V.

Начнем с определения модулей Верма для

Подобным образом мы можем также написать

коэффициент Клебша-Гордона, который мы хотим вычислить, это

Учитывая, что - произвольный контравариантный вектор, можно еще прокоммутировать различные уст направо. Подобно тому, что было

в предыдущем случае, мы находим члены вроде

Если является BRST-вакуумом, то данное выражение обращается в нуль. Однако если равняется настоящему вакуумному состоянию Superdiff(S) с наивысшим весом, то в общем случае оно не равно нулю Дело здесь в том, что повторными коммутациями можно построить матрицу, преобразующуюся относительно Superdiff (S) подобно правильному коэффициенту Клебша-Гордона независимо от точной величины предыдущего матричного элемента. Преимущество этого подхода состоит в том, что мы находим существенные коэффициенты Клебша-Гордона, основанные на истинном вакууме вместо того чтобы связываться с бесконечным числом возможных духовых вакуумов.

Получив численную величину этого коэффициента Клебша-Гордона, можно использовать ее для вывода инвариантного действия путем свертки со следующим действием:

Снова наше действие есть форма Черны-Саймонса, ассоциированная с

Аналогично, возможна фиксация калибровки, поскольку универсальная суперструнная группа представляет полупрямое произведение группы Superdiff (S) и суперструнной группы:

Фиксацией калибровки мы можем нарушить универсальную ковариантность и получить теорию, которая имеет только суперструнную группу. Таким способом можно снова получить подход BRST.

К сожалению, недостаток места не позволяет нам обсудить более детально замкнутую взаимодействующую струну и пространственно-временную суперсимметрию в геометрическом формализме. Отметим, однако, одно важное обстоятельство, состоящее в том, что теория замкнутых струн в геометрическом формализме является модулярно инвариантной, тогда как BRST-теория замкнутых струн этим свойством не обладает. Кроме того, добавляя пространственно-временную суперсимметрию к (бозонной) универсальной струнной группе, мы получаем объединенную струнную группу. Для более детального рассмотрения читателю следует обратиться к [1, 2].