§ 2.2. КВАНТОВАНИЕ ГУПТЫ-БЛЕЙЛЕРА

Формализм Гупты-Блейлера обеспечит лоренц-инвариантность наложением связей Вирасоро на векторы состояний:

Здесь представляют состояния теории. Эта связь устранит духовые векторы состояний, что позволит нам сохранить нефизические духи с отрицательной метрикой в действии.

Классический метрический тензор имеет три степени свободы, которые можно устранить калибровочным преобразованием. Две из них связаны с репараметризационной инвариантностью, а одна с вейлевской инвариантностью. Поэтому можно найти калибровку, устраняющую все три:

Назовем эту калибровку конформной. (Как мы уже упоминали, переход к конформной калибровке для квантовой теории и высших петель вызывает трудности.) Действие примет следующий вид:

Это выражение замечательно просто, поскольку действие теперь соответствует невзаимодействующей свободной струне. Это действие дает уравнения движения свободной струны

с граничными условиями

которые мы должны наложить для интегрирования по частям и устранения поверхностного члена. Решениями уравнений движения служат произвольные функции переменных и

Канонические коммутационные соотношения теперь суть

где

Конечно, существует бесконечно много возможных представлений континуального интеграла. Однако, как и в случае точечной частицы, мы всегда можем выбрать простейшее из них - в базисе гармонических осцилляторов [8], в котором гамильтониан становится диагональным. В отличие от случая точечной частицы, однако, у нас теперь имеется бесконечное число осцилляторов, по одному набору для каждой

нормальной моды:

Каноническим коммутационным соотношениям можно удовлетворить, если положить

Обычно также вводят эквивалентный набор осцилляторов:

Записанный в этом базисе, гамильтониан принимает особенно простую форму (см. 1.3.37)):

Здесь мы сделали бесконечный сдвиг энергии нулевого состояния. На этом этапе масса частицы наименьшего порядка не является корректно определенной из-за этого бесконечного сдвига, но мы ниже покажем, что эта частица наименьшего порядка в действительности является тахионом. Мы покажем, что интерсепт модели равен 1.

Заметим, что все осцилляторные моды совершенно независимы друг от друга. В самом деле, гамильтониан диагонален в фоковском пространстве возбуждений гармонических осцилляторов. Выбор этого конкретного представления функции струны из бесконечного множества возможностей дает огромные преимущества, поскольку разрешенными собственными состояниями такого гамильтониана служат просто произведения фоковских пространств всех возможных гармонических осцилляторов:

Вакуум определен соотношением

Спектр низших возбужденных состояний можно классифицировать следующим образом (см. рис. 2.3):

Как и ожидалось, мы получаем ведущую реджевскую траекторию, которую мы раньше получали из классического рассмотрения, а также бесконечное семейство дочерних траекторий со все более отрицательными интерсептами с осью у. В этой калибровке пропагатор, или функция Грина, принимает простой вид

где

Необходимо помнить, что функциональный интеграл по есть

Рис. 2.3. Реджевские траектории для открытой струны. По оси абсцисс отложены квадраты энергии, по оси ординат - спины. Самая левая частица - это тахион, соответствующий вакууму фоковского пространства. Безмассовая частица со спином 1 - это поле Максвелла или Янга-Миллса, которое соответствует одиночному оператору создания, действующему на вакуум. Существует бесконечно много реджевских траекторий, соответствующих бесконечному числу возбуждений релятивистской струны или бесконечному числу состояний фоковского пространства.

бесконечное произведение интегралов по каждой точке вдоль струны или по всем фурье-модам струны.

К счастью, это интегрирование можно провести явным образом. Пусть частица движется из Так как гамильтониан диагоналей в пространстве гармонических осцилляторов, интегрирование по можно выполнить точно. Находим

где - нулевая фурье-составляющая генераторов Вирасоро (2.1.28). Другими словами, пропагатор свободной теории есть

его обкладками слева и справа служат состояния струны. Однако из-за наличия тождества

можно явным образом устранить континуальные интегралы в каждой промежуточной точке между начальным и конечным состояниями. В самом деле, из-за простоты -точечной функции можно явным образом устранить все функциональные интегралы по состояниям струны, и у нас останутся лишь гармонические осцилляторы. Важно еще раз подчеркнуть, что гармонические осцилляторы служат лишь одним из способов представления континуального интеграла. Его простота является следствием диагональности гамильтониана в фоковском пространстве состояний гармонических осцилляторов.

Весьма сходным образом замкнутую струну тоже можно описать с помощью гармонических осцилляторов. Для замкнутой струны граничное условие неприменимо, и мы можем воспользоваться для разложения по нормальным модам как синусами, так и косинусами. Поэтому для замкнутой струны мы ожидаем удвоенного числа осцилляторов. Разложение по этим модам имеет вид

Гамильтониан для замкнутой струны есть

Рис. 2.4. Реджевские траектории для замкнутой струны. Фоковское пространство строится из двух коммутирующих наборов гармонических осцилляторов. Безмассовая частица со спином -это гравитон, соответствующий произведению операторов обоих типов, действующих на вакуум.

Снова фоковское пространство состоит из всех элементов, созданных гармоническими осцилляторами, но на этот раз существует дополнительная связь, которой не было для открытой струны:

(Эта связь интерпретируется следующим образом: замкнутая струна не должна зависеть от выбора начала координаты . Например, оператор можно интерпретировать двояко. Во-первых, он порождает повороты в пространстве а, так что мы усредняем по поворотам на в этом пространстве. Во-вторых, если вычислить этот интеграл, то получится что совпадает со связью (2.2.23) в применении к гильбертову пространству. Мы вернемся ниже к этой связи.)

Фоковское пространство состоит из следующих элементов (см. рис. 2.4):

Заметим, что в спектре замкнутой струны есть безмассовая частица со спином 2. Когда струнную модель вначале интерпретировали как модель адронов, присутствие этой напоминающей гравитон частицы со спином 2 вызвало большое недоумение. Были предприняты попытки связать эту частицу с траекторией Померона, обнаруживаемой теории -матрицы. Можно показать, что при обобщении на деревья и петли эта безмассовая частица со спином два обладает калибровочной инвариантностью, эквивалентной гравитону теории Эйнштейна. Отказавшись от предшествующей интерпретации теории струн как модели адронов, мы

находим естественное место для этой гравитоноподобной частицы, отождествив ее с гравитоном как таковым.

В итоге можно сделать вывод, что формализм Гупты-Блейлера в конформной калибровке выглядит простым и изящным в основном потому, что мы позволили духам появиться в теории через действие. Теория сводится к простейшей из всех возможных теорий струн, т. е. к свободной распространяющейся струне.

Цена, которую приходится платить за эту простоту, - наложение ограничений на фоковское пространство. Генераторы Вирасоро можно записать так [6]:

Поэтому физические состояния теории должны удовлетворять условиям

Алгебра, порождаемая этими операторами, задается соотношениями

где размерность пространства-времени. Тот факт, что в этом уравнении присутствует центральный с-числовой член, на первый взгляд звучит необычно, но это можно проверить явным вычислением, взяв вакуумное среднее простого коммутатора:

Этот центральный член возник из-за того, что мы нормально упорядочили генератор чтобы получить конечные матричные элементы. Такое нормальное упорядочение обнаружилось даже для случая точечных частиц в (1.8.7); отличие лишь в том, что сдвиг энергии теперь бесконечен. Цена, которую мы платим за конечность матричных элементов потеря локальности по о. Нормальное упорядочение уничтожает то положение, которое имело место до него, когда генераторы были локальными функциями переменной а. Процесс квантования с необходимостью разрушает локальность генераторов Вирасоро по переменной а, и отсюда возникает с-числовой центральный член. Итак, схема квантования и схема регуляризации, примененные для извлечения

из модели конечной информации, в действительности несовместимы с конформной симметрией. К счастью, это противоречие можно устранить, если размерность пространства-времени положить равной 26.

То, что теория содержит духи, демонстрирует тот факт, что нулевая составляющая гармонического осциллятора имеет отрицательную метрику:

Поэтому коэффициент функции Грина входит со знаком минус. Кроме того, есть состояния с нулевой нормой и с отрицательной нормой, которые нужно учитывать.

Для изучения спектра определим ьипурионное состояние как состояние, ортогональное всем физическим вещественным состояниям Шпурионные состояния можно записать в виде

для некоторого целого и некоторого состояния (Если взять матричный элемент, отвечающий этому состоянию и какому-нибудь физическому состоянию, то скалярное произведение всегда будет равно нулю, поскольку разрушает физические состояния.) Теперь построим шпурионное состояние:

Мы не хотим, чтобы это состояние принадлежало физическому гильбертову пространству. Рассмотрим, однако, условия, при которых оно могло бы принадлежать физическому спектру. Положим

Отсюда следует, что

что в свою очередь фиксирует условия

Итак, это шпурионное состояние удовлетворяет условиям (2.2.26) и поэтому является частью физического фоковского пространства. На первый взгляд это кажется неудачей. Мы желаем, чтобы наше физическое гильбертово пространство не содержало духов. Заметим, однако, что в 26-мерном пространстве это состояние имеет нулевую норму (а не отрицательную). Поскольку было произвольным, мы построили бесконечный класс состояний которые являются одновременно шпурионными и физическими. Если мы возьмем норму этого состояния

высшего порядка, то обнаружим, что в размерности 26 она также обращается в нуль, что делает его нулевым шпурионным состоянием. Это состояние также приемлемо, поскольку его норма неотрицательна. Итак, в 26-мерном пространстве мы получаем приемлемый спектр для этого набора состояний.

Подобный анализ векторов состояний теории показывает, что можно построить физическое состояние 10), которое на самом деле имеет отрицательную норму, если больше чем 26:

Налагая условие находим, что Мы получаем, что норма этого состояния равна

Итак, размерность пространства-времени не может превышать 26; в противном случае существуют состояния с отрицательной нормой, принадлежащие к физическим состояниям. В целом мы нашли, что спектр свободен от духов, если размерность пространства-времени меньше или равна 26:

Это упражнение было проделано лишь для части фоковского пространства. Но можно ли устранить духи во всех порядках струнной модели? Мы вернемся к трудной проблеме устранения духов в формализме Гупты-Блейлера в конце настоящей главы, когда мы действительно построим физическое гильбертово пространство и покажем, что в нем нет состояний с отрицательной нормой, если размерность пространства-времени равна 26.