§ 6.3. ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ В КАЛИБРОВКЕ СВЕТОВОГО КОНУСА

Теперь, как и в случае точечной частицы, мы хотим осуществить переход от первично квантованного ко вторично квантованному струнному формализму, используя (1.8.21):

Мы должны здесь напомнить, что полевой функционал не является локальной функцией от значения (а) в фиксированной точке от на струне. Напротив, это - мультилокалъный функционал, определенный для всех точек струны. Если мы дискретизируем струну рядом точек

то полевой функционал примет вид

и мы переходим к пределу Таким образом, струнный функционал есть одновременно функция каждой точки струны [1].

Начнем с определения гильбертова пространства струнных возбуждений. Удобно разложить поле по гармоническим осцилляторам. В этом случае имеем

Сразу видна разница между первично и вторично квантованными Формализмами даже для свободного поля. В первом случае основным объектом является Х, что представляет только одну возможную конфигурацию струны. Во втором мы имеем дело с полевым функционалом который одновременно представляет суперпозицию всех возможных струнных конфигураций.

Чтобы сделать обсуждение более конкретным, введем специальное Представление собственных векторов на языке гармонических осцилляторов. Мы хотим, чтобы результат действия струнной переменной Х на собственный вектор воспроизводил (2.2.9):

Предположим на минуту, что собственный вектор можно представить в виде

где - произвольные константы.

Определим эти константы и с, действуя на вектор состояния оператором X:

Следовательно, получаем

Далее, мы хотим, чтобы оператор имел правильные коммутационные соотношения с X. Применяя к вектору состояния, находим

так как

то это фиксирует коэффициент Итак, наш окончательный результат для вектора состояния есть

где к - нормировочная константа. Это выражение в свою очередь позволяет представить полевую функцию в виде ряда по полиномам Эрмита. В качестве примера, можно вычислить

Последние выражения дают возможность переписать первоначальны» полевой функционал с помощью полиномов Эрмита, используя (6.3.11):

(Здесь мы взяли нормировку полиномов Эрмита, отличную от обычной.)

Проквантуем этот полевой функционал, придерживаясь процедуры, использованной в обычной полевой теории точечной частицы (1.8.9) - (1.8.12). В общем случае мы можем разложить полевую функцию в ряд по любым ортогональным полиномам. Выберем произвольный элемент фоковского пространства, являющийся произведением некоторого числа операторов рождения, возведенных в некую степень. Пусть ряд целых чисел где - лоренцевский индекс, а - номер уровня, обозначает количество операторов рождения в данном состоянии. Таким образом, любое состояние гильбертового пространства можно представить как

Это состояние есть произведение произвольной последовательности операторов рождения. Выберем нормировочную константу равной

Тогда

Следовательно, эти состояния могут быть нормированы так, что будут образовывать ортонормированный базис. На самом деле этот базис является полным:

Матричный элемент в (6.3.14) и струнного собственного вектора в (6.3.11) есть в точности произведение полиномов Эрмита:

Исследуем некоторые полезные свойства Разлагая полевой функционал по ортогональному базису, можно обобщить выражение (1.8.12), которое имело вид

и получить следующее:

Легко вычисляется внутреннее произведение двух таких полевых функционалов:

Можно также показать, что

где мера интегрирования для такого пространства дается формулой

Используя эти тождества, можно показать, что число 1 представимо в форме, аналогичной (6.2.13):

Для доказательства этой формулы разложим полевые функционалы по ортогональному базису и выполним точное интегрирование по коэффициентам. Имеем

что и оправдывает такое представление 1 в виде (6.3.23).

Матричный элемент между двумя струнными состояниями также можно выразить через

Наконец, перед выводом уравнения Шрёдингера для струн необходимо обобщить (6.2.17):

Как и выше, наиболее легко это тождество доказывается функциональным интегрированием по

Теперь, имея в своем распоряжении все нужные тождества, рассмотрим матричный элемент между двумя инфинитезимальными струнными состояниями:

Этот матричный элемент можно выразить в виде первично квантованной картины, в которой мы пользуемся полным набором собственных состояний оператора импульса, либо на языке вторичного квантования, подставляя в него полный набор полевых функционалов.

Таким образом,

Повторяя проделанное в разд. 1.3, мы подставили в матричный элемент полный набор собственных состояний оператора импульса и затем вывели инфинитезимальную функцию Грина для первично квантованного формализма:

Здесь был использован тот факт, что

Подставив затем бесконечное число этих первично квантованных струнных состояний между любыми двумя интервалами, разделяющими начальную и конечную точки, нашли, что

где

Итак, в первично квантованной струнной теории мы могли свободно переходить от гамильтонова к лагранжевому формализму и обратно.

Повторим все наши рассуждения, подставляя в действие полный набор вторично квантованных полевых функционалов. Инфинитезимальная амплитуда перехода есть

Теперь, как и прежде, переходим к пределу:

Далее вставляем полный набор промежуточных полевых состояний между всеми инфинитезимальными интервалами, соединяющими начальную и конечную струнные конфигурации. Тогда матричный элемент Шщмает вид

выражающий основной результат этого раздела. Отсюда втори квантованное действие равно [1] 0

Таким образом, эквивалентность первично и вторично квантованных формализмов для свободной струнной теории в калибровке светового конуса доказана. Используя (6.3.28), мы можем написать функцию Грина либо в первично квантованном, либо во вторично квантованном формализме:

где

и

Мы вывели действие вторично квантованной полевой теории из требования, что оно воспроизводит функцию Грина для распространения струны. Это показывает наличие сильной аналогии между первичным и вторичным квантованием в случае свободных струн. (Эта аналогия будет, однако, резко нарушена, когда мы рассмотрим взаимодействие.)

Теперь проквантуем наше действие. Из него следует уравнение движения:

Энергия, соответствующая конкретному базисному состоянию, дается формулами

Удобно сделать фурье-преобразование коэффициентов по переменной х:

Следовательно, эти коэффициенты должны удовлетворять уравнениям движения:

Здесь мы ввели новый оператор А, который является оператором рождения или уничтожения, связанным с состоянием Важное замечание состоит в том, что А - это совсем не то же, что введенный в гл. 1. Оператор создает отдельную колебательную моду струны, в то время как А рождает или уничтожает элемент гильбертова пространства, достроенный из всевозможных произведений Это есть оператор, сдающий или уничтожающий состояния бесконечнокомпонентной полевой теории. Он удовлетворяет коммутационным соотношениям

Объединяя все вместе, имеем разложение полевого функционала по плоским волнам:

Можно также переписать это разложение в базисе X (см. (1.8.21)):

Мы сейчас в состоянии вывести канонические коммутационные соотношения для вторично квантованной полевой теории струн. Имея разложения по ортогональным полиномам, легко показать, что

Обозначим вакуум осцилляторов А через Отметим, что это вакуумное состояние является произведением вакуумов всех полей высших спинов, содержащихся внутри Ф. Поскольку А - вакуум бесконечнокомпонентной полевой теории, то он не имеет ничего общего с Используя предыдущие тождества, мы находим выражение для функций Грина на языке полевых функционалов:

где - начальное и конечное состояния.

Здесь важно отметить, что мы выразили функцию Грина распространили свободной струны как на первично, так и на вторично квантованном языке. Значит, по крайней мере на свободном уровне, можно переходить от одного формализма к другому и обратно. Сейчас в наших руках находятся орудия, позволяющие написать точное выражение для Грина свободной струны, обобщающее выражение (6.2.4) для

точечных частиц:

где Г - временной интервал. Заметим, что вывод амплитуды перехода полностью выполнен на языке вторично квантованных полевых функционалов.

Итак, мы вывели действие полевой теории струн в калибровке светового конуса прямой подстановкой полного набора промежуточных струнных состояний в каждую струнную конфигурацию между ее начальным и конечным положениями.