§ 9.9. РЕЗЮМЕ

Мы использовали множители Чана-Патона и сокращение аномалий для фиксации калибровочной группы теории струн. Множитель Чана-Патона является просто следом от произведения различных генераторов группы, на который умножается член Борна-Венециано:

К сожалению, единственное ограничение, налагаемое на выбор группы условием унитарности, состоит в том, что допустимы группы или с произвольным

Более сильные ограничения на выбор группы возникают, если мы

потребуем, чтобы модель была свободной от аномалий. Вообще говоря, здомалия возникает всякий раз, когда классическая симметрия лагранжиана не сохраняется в процессе квантования. Киральная аномалия, например, возникает из-за того, что метод регуляризации (Паули- Вилларса, например, или размерной регуляризации) всегда нарушает кяральную инвариантность.

В частности, дивергенция аксиального тока не обращается в нуль, а равна

что является полной производной или топологическим членом, определяемым через ток

Вообще говоря, в более высокой размерности аномалия будет пропорциональна топологическому члену. Например, используя теорию форм, можно показать, что -кратное произведение тензора кривизны может быть записано как дивергенция от другой формы. Например, можно показать, что след от степени тензора кривизны может быть записан в терминах дивергенции от формы Черна-Саймонса:

Изучение этих инвариантных полиномов приводит нас к теории характеристических классов. Существует четыре классических характеристических класса. Класс Черна может быть определен как

Класс Понтрягина определен для групп формулой

Класс Эйлера определяется через пфаффиан:

Наконец, существет класс Штифеля-Уитни, который не может быть записан в терминах форм кривизны. Однако этот класс будет важен при анализе спинорной структуры на многообразиях. В частности, при обращении в нуль мы получаем ориентируемое спинорное многообразие, на котором можно задать спиноры:

Теоремы об индексах обычно записываются через следующие инвариантные полиномы:

Наибольший интерес представляет теорема об индексе оператора Дирака, касающаяся разности числа решений уравнения Дирака с нулевым собственным значением положительной и отрицательной киральности. Используя суперсимметричную сигма-модель, можно показать следующее:

Вооружившись этим теоретическим аппаратом, можно вычислить калибровочные и гравитационные аномалии, найденные в теории супергравитации и теории суперструн. В этом случае гравитационные и калибровочные аномальные вклады возникают из-за того, что внутренняя линия может быть

(1) либо киральным фермионом спина 1/2,

(2) либо киральным фермионом спина 3/2,

(3) либо антисимметричным тензором, не имеющим ковариантного действия.

Вычисление аномального вклада выполняется точно по фейнмановским диаграммам. Вычисление, однако, чрезвычайно упрощается, поскольку можно сделать некоторые предположения о тензоре поляризации внешних линий, редуцируя, таким образом, его спин. Следовательно, трудная проблема свертки по различным индексам сводится к более простой задаче свертки по частицам более низкого спина. Окончательные результаты таковы:

Собирая все вместе, мы находим полный аномальный вклад как от калибровочного, так и от гравитационного секторов:

Как ни странно, можно обратить это выражение в нуль, сделав несколько предположений. Вначале мы должны положить равным 496 (если не касаться модели , которая будет обсуждаться в следующей главе). Затем мы предположим, что можно факторизовать аномалию в произведение двух членов:

Заметим, что десятимерная супергравитация немедленно отбрасывается, потому что указанное выше тождество не может быть удовлетворено. Однако теория струн имеет одно большое преимущество перед теорией спергравитации. Наличие в теории суперструн полей более высокого спина означает, что предел нулевого наклона теории не должен редуцироваться точно к теории супергравитации. В частности, взаимодействия поля В в теории суперструн таковы, что они могут в принципе сократить члены, выписанные выше.

Подлинное доказательство того, что аномальный член обращается в нуль, должно быть выполнено в струнном формализме с помощью

однопетлевого шестиугольного графа. Мы используем регуляризацию типа Паули-Вилларса на промежуточных линиях и потом суммируем по планарным и неориентируемым петлям. Аномалия пропорциональна следующему выражению:

где

и

Окончательно, суммирование планарных и неориентируемых диаграмм дает

Чтобы обратить этот член в нуль, необходимо положить и

Следовательно, калибровочная группа должна совпадать с

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)