§ 5.2. ОДНОПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ

Сначала выпишем континуальный интеграл для однопетлевой диаграммы

в котором интегрирование проводится по горизонтальной полосе в комплексной плоскости (см. рис. 5.4), имеющей конечную длину, и отождествим ее левую и правую границы. Тем самым мы построим поверхность, топологически эквивалентную диску с отверстием. Этот континуальный интеграл, разумеется, можно вычислить в явном виде, что даст фактор

где - функция Неймана.

Теперь топологически деформируем горизонтальную полоску в следующую поверхность. Рассмотрим кольцо, определенное как область в верхней полуплоскости с внешним радиусом и внутренним радиусом причем отношение радиусов обозначим

Теперь потребуем отождествления внешнего периметра с внутренним. Это значит, что точка на внешнем периметре должна быть отождествлена с точкой на внутреннем периметре, имеющей тот же полярный угол:

Такое отождествление создаст полукруговую трубку в верхней полуплоскости. Конформное отображение горизонтальной полоски в такую трубку есть просто экспонента.

Трубку в свою очередь можно отобразить на диск с отверстием, растянув один ее конец в окружность большого радиуса и затем стянув

Рис. 5.4. Конформная поверхность однопетлевой диаграммы для открытой струны. В плоскости эта поверхность соответствует прямоугольнику с шириной и с произвольной длиной, концы которого отождествлены. Прямоугольники с постоянной шириной и меняющейся длиной конформно эквивалентны, так что в континуальном интеграле мы должны интегрировать по всем длинам. Волнистые линии соответствуют струнам «нулевой ширины», или тахионам, которые могут прикрепляться к поверхности как на верхней, так и на нижней границах. В плоскости эта поверхность соответствует узкой трубке, согнутой в полукольцо, из обоих концов которой выходят внешние линии.

другой ее конец. При построении функций Неймана на этом кольце нас, очевидно, будут интересовать функции, обладающие свойством

Если взять произвольные степени это отождествление фактически разобьет верхнюю полуплоскость на бесконечное число концентрических полуколец. Каждая из этих концентрических окружностей имеет радиус иЛ Отождествляя внешний периметр одного из колец с его внутренним периметром, можно создать бесконечную последовательность трубок. Таким образом, вся верхняя полуплоскость может быть разбита бесконечную последовательность этих трубок, но нас интересует лишь одна из них.

Итак, мы разбили верхнюю полуплоскость, отождествляя концентрические окружности, порожденные умножением на число Это число Р тем самым параметризует диск с отверстием. Оно называется параметром Тейхмюллера однопетлевой диаграммы. Такие параметры «лдускают естественное обобщение на поверхности с отверстиями.

В общем случае мы можем также разбить верхнюю полуплоскость, яеяользуя произвольное проективное преобразование, которое, как мы видели выше, отображает вещественную ось на себя. (В общем случае окружности переходят в окружности при проективных преобразованиях.) Определим автоморфную функцию как функцию, обладающую свойством

где мы сделали проективное преобразование группы

для вещественных и (Фазы могут иногда входить в свойства периодичности этих функций.) К счастью, математики вычислили эту функцию. Функция Неймана равна

где мы требуем, с точностью до фазового множителя, чтобы эта функция была периодической:

В явном виде эта периодическая функция равна

Заметим, что эта функция явным образом обладает требуемым свойством периодичности, упомянутым выше. Поэтому при взятии Экспоненты от функции Неймана (см. (5.2.2)) окажется, что импульсный фактор подынтегрального выражения содержит множители вида

Эту функцию можно также выразить через тэта-функции Якоби:

где

Существует четыре тэта-функции Якоби, которые выражаются формулами

где

является функцией распределения

Поэтому амплитуда равна

Используя конфорную инвариантность, можно также определить факторы Однако мы увидим, что удобно просто подытожить результаты подхода гармонических осцилляторов, который также приводит к праввильной интегральной мере.