§ 3.6. ПРОЕКЦИЯ GSO

Действие (3.4.4) для модели NS-R не было инвариантным относительно десятимерной пространственно-временной суперсимметрий. Хотя это неочевидно, теория NS-R также инвариантна относительно указанной группы преобразований, если сделать некоторое обрезание фоковского пространства. Чтобы это увидеть, рассмотрим сначала пространство состояний струны.

Общее число бозонных состояний на уровне равно числу способов

представления целого числа в виде суммы целых чисел, т. е. Сначала продемонстрируем это на примере для уровня 4. Общее число состояний, являющихся собственными функциями гамильтониана, на угом уровне равно пяти:

Заметим, что это в точности совпадает с числом способов, которыми число 4 можно представить как сумму целых чисел, т. е. . В общем случае каждое состояние на уровне можно представить как один из способов разбиения на целочисленные слагаемые целого

где

а числовой оператор для этого пространства.

В статистической механике мы часто вводим статистическую сумму, которая показывает, какое число состояний имеется для заданного энергетического уровня:

Мы увидим, что статистическая сумма полезна, поскольку позволяет подсчитать число состояний струны:

Коэффициент при в этом разложении в степенной ряд есть не что иное, как число способов разбиения на целочисленные слагаемые, т. е. Этот след можно вычислить разными способами. Простейший из них - ввести когерентные состояния:

Так, след можно представить в виде

Вычислив этот интеграл, мы найдем

проверки мы можем разложить эту функцию в степенной ряд (в

одном измерении) и показать, что каждый коэффициент при равен т.е.

Эта функция связана с известной математикам функцией Харди-Рамануджана. Действительно, некоторые из волшебных свойств струнной модели происходят из тождеств, справедливых для функции Харди-Рамануджана.

Затем нам хотелось бы вычислить состояния секторов NS и чтобы проверить, являются ли они суперсимметричными. По крайней мере нам нужно, чтобы число состояний на массовой поверхности было равно в обоих секторах.

Заметим, что фоковское пространство модели NS-R в действительности разделяется на два фоковских пространства меньших размеров; принадлежность состояния к одному из них зависит от того, четно или нечетно число осцилляторов типа отвечающих этому состоянию. Поскольку -осцилляторы антикоммутируют, общее число внешних линий должно быть четным, поскольку -осцилляторы должны стягиваться попарно. Поэтому мы можем определить оператор -четности», который просто подсчитывает число -осцилляторов в данном состоянии. Он равен — 1 для нечетного числа и для четного:

Если взять сектор теории с четной -четностью, это немедленно устранит тахион, и самым нижним состоянием останется безмассовая векторная частица, у которой есть физических состояний.

Сектор Рамона также допускает уменьшение числа состояний. Если потребовать, чтобы самым низкоэнергетическим безмассовым фермионом был майорана-вейлевский, то у него останется только 16 мод. Подсчитать это можно так. Драковский спинор в -мерном пространстве имеет комплексных компонент. Требование, чтобы он был майорановским (вещественным), уменьшает число компонент вдвое, а требование, чтобы он был вейлевским, - еще вдвое. Вычислим теперь статистическую сумму, подсчитывающую общее число состояний на каждом уровне. Для NS-сектора получим

где

След можно вычислить в явном виде, что дает

С другой стороны, след для сектора Рамона принимает вид

где

Мы находим

На первый взгляд может показаться, что между этими двумя секторами нет никакой связи. Однако еще в 1829 г. Якоби показал, что эти два выражения в точности эквивалентны:

Это, конечно, не доказывает, что редуцированная модель NS- R суперсимметрична, но является необходимым условием наличия такой симметрии. Эта проекция называется проекцией GSO (по работе Глиози, Шерка и Олива [17]) и играет чрезвычайно важную роль в теории суперструн. (В гл. 5 будет показано, что GSO-проекция эквивалентна модулярной инвариантности однопетлевой амплитуды замкнутой струны.)

Итак, один из серьезных недостатков подхода NS-R состоит в том, что пространственно-временная суперсимметрия совершенно не очевидна. Второй серьезный недостаток этой модели - то, что с вертексной функцией для испускания фермионов весьма трудно работать и она не обладает привлекательным поведением при калибровочных преобразованиях Вирасоро. В результате потребовалось много лет, прежде чем Удалось найти двухфермионные амплитуды рассеяния. В теории NS-R вертексы взаимодействия между бозонами и фермионами суть [18-22]

где генератор Вирасоро, а

Вертекс (3.6.20) осуществляет переход от бозонного фоковского про. странства к фермионному фоковскому пространству, поскольку слева стоит бозонный вакуум, а справа - фермионный. К сожалению, конформный спин этого вертекса равен 3/8, что затрудняет построение амплитуды, обладающей конформной инвариантностью.

Итак, хотя модель NS-R привлекательна, поскольку по существу это свободная теория в конформной калибровке, но трудности с фермионным сектором вынуждают нас искать более сложные варианты теории, Ниже мы изучим действие Грина-Шварца, которое эквивалентно GSO-проекции модели NS-R и обладает явной пространственно-временной суперсимметрией.