§ 4.7. АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ

Хотя конформная теория поля дает мощные результаты, начинающему различные правила и соглашения могут показаться слишком произвольными и случайными. На первый взгляд создается впечатление, до конформная теория поля основана на хитроумных трюках и совпадениях, а не на чем-то фундаментальном.

На самом деле последовательность и элегантность конформной хеории поля связана с новыми бесконечномерными алгебрами Ли, называемыми алгебрами Каца-Муди [11-22], которые являются мощными обобщениями обычных конечномерных алгебр Ли. Они были открыты математиками В. Г. Кацем и Р. В. Муди в 1967 г., хотя одна разновидность таких алгебр была уже известна физикам в середине 60-х годов под названием алгебр токов. Вместе с суперконформной двумерной группой -алгебра Каца-Муди обеспечивает математическую основу конформной теории поля. Фактически многие матричные элементы в конформной теории поля можно рассматривать как коэффициенты Клебша-Гордона в алгебрах Каца-Муди.

Определим алгебру Каца-Муди как обобщение обычной алгебры Ли, такое, что ее генераторы подчиняются условию

Эта алгебра очень похожа на обычную алгебру Ли, за исключением бесконечного целочисленного индекса каждого генератора и константы к, называемой уровнем. Нулевая компонента генераторов Г есть не что иное, как алгебра конечной алгебры Ли. Часто будет Удобно переписать генераторы алгебры Каца-Муди как фурье-компоненты одной функции, определенной на окружности:

Мы можем также редуцировать генераторы алгебры Каца-Муди

Подалгебре Картана и ее собственным векторам:

Таким образом, алгебра Каца-Муди выглядит как обычная алгебра Ли, «размзаанная» по окружности.

Теперь построим то, что называется «базовым представлением» алгебры Каца-Муди, используя вершинные операторы. Это представок справедливо лишь для групп с простыми связями (т.е. групп с корнями равной длины, а именно групп Ли D и Е) и уровнем, равным

единице Сначала определим струнную переменную

Затем введем базисные векторы решетки нашей алгебры Ли, такие, что

Это позволяет записать струнную переменную и вершинную функцию как векторы на решетке: 1

Здесь -уже знакомые коциклы, введенные в (4.6.5) с целью получить коммутационные соотношения с правильными знаками. Для них возможны многочисленные представления, одно из которых

Наконец, это позволяет ввести генераторы алгебры Каца-Муди:

Здесь знак используется для а знак для к Поскольку элементы с индексами и коммутируют, то Н суть обобщения подалгебры Картана, т.е. набор взаимно коммутирующих элементов алгебры Ли.

Вычислим теперь коммутатор этих генераторов. Весьма похожим на то, что мы делали выше, способом находим, что произведение двух вершинных функций определяется формулами

где

Теперь у нас есть все тождества, необходимые для вычисления коммутатора для всех генераторов. Прямым вычислением находим

Заметим, что Н взаимно коммутируют, как и в обычной алгебре Ли

что а, суть собственные значения для Н. Остальные коммутаторы для разлинных Е даются формулами

(Г есть решетка корней.) Итак, мы видим, что коммутаторы алгебры Каца-Муди очень похожи на обычные коммутаторы алгебры Ли, с тем единственным отличием, что генераторы «размазаны» по окружности.

Очень важно также заметить, что возможно полупрямое произведение алгебры Вирасоро и алгебры Каца-Муди. Коммутаторы суть

В зависимости от того, какое представление этой алгебры мы выберем, можно получить связь между уровнем к алгебры Каца-Муди и центральным элементом с алгебры Вирасоро. Одно из замечательных свойств алгебры Каца-Муди - то, что можно построить представление алгебры Вирасоро, целиком выраженное через формализм алгебры Каца-Муди. Запишем генераторы алгебры Вирасоро, размазанные по окружности:

Такая запись называется формой Сугавары.

У нас есть все необходимые тождества для вычисления коммутатора таких выражений, и мы находим

где

В последних формулах -размерность группы, a - значение

квадратичного оператора Казимира для присоединенного представления Последний коммутатор дает полупрямое произведение алгебр Висасоро и Каца-Муди:

Приведем вычисленные значения центрального заряда для некоторые групп:

На основе подхода алгебр Каца-Муди заново рассмотрим конформную теорию поля, интерпретируя результаты этой теории с теоретико-групповой точки зрения. Мы видим, что спиновые поля, определенные формулой (4.6.13), преобразуются под действием алгебры Каца-Муди как -компонентный спинор. Аналогично, антикоммутирующие векторные поля NS-модели, определенные формулой (4.6.10), преобразуются под действием -алгебры Каца-Муди как 10-компонентные векторы. Можно также рассматривать тензор энергии-импульса (4.3.5) как форму Сугавары представления алгебры Вирасоро посредством -алгебры Каца-Муди. Кроме того, духи , у конформной теории поля можно считать представлениями суперконформной группы с разными значениями центрального элемента, приведенными в таблице (4.4.43). Наконец, мы можем также рассматривать корреляционные функции, служащие ядром конформной теории поля, как коэффициенты Клебша-Гордона, найденные при разных тензорных произведениях разных представлений -алгебры Каца-Муди, связанной с суперконформной группой.