§ 1.5. ПЕРВИЧНОЕ И ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

В настоящем разделе мы проквантуем классическую точечную частицу и затем покажем связь полученной теории с более обычной формулировкой теории поля на языке вторичного квантования. Программа первичного квантования, как мы увидим, довольно неуклюжа по сравнению с формализмом вторичного квантования, привычным большинству физиков, но исторически теория струн развивалась как теория первичного квантования. Огромное преимущество формализма вторичного квантования состоит в том, что вся теория может быть выведена из

одного действия, тогда как теория первичного квантования требует многих дополнительных допущений.

Переход от классической к квантовой системе тесно связан с вопросом об устранении избыточных бесконечностей. Как мы уже указывали, континуальный интеграл формально определен некорректно, поскольку содержит суммирование по бесконечному числу копий одного и того же объекта. Весь фокус в том, как выделить ровно одну копию.

Существуют по крайней мере три основных способа, которыми точечная частица может быть проквантована: кулоновская калибровка, формализм Гупты-Блейлера и формализм BRST.

Кулоновское квантование

Здесь мы выбираем калибровку

Другими словами, мы берем временную составляющую переменной равной действительному времени которое теперь служит параметром, описывающим эволюцию струны. В этой калибровке действие сводится к

В пределе малых скоростей (по сравнению со скоростью света) получаем

как и ранее, так что континуальный интеграл принимает вид

Для случая струны этот простой пример заложит основу для квантования в конусных переменных. Преимущество кулоновской калибровки состоит в том, что все духи явным образом удалены из теории, так что мы имеем дело лишь с физическими величинами. Другое преимущество состоит в том, что нулевая составляющая вектора положения теперь явным образом определена как временная переменная. Параметризация точечной частицы теперь задается посредством физического времени.

Недостаток кулоновского формализма, однако, в том, что явная лоренцева симметрия нарушается, и приходится непосредственно проверять, что квантованные лоренцевы генераторы замыкаются правильно. Хотя для точечной частицы это тривиально, удивительные свойства обнаружатся для квантовой струны, и они определят фиксированную размерность пространства-времени, равную 26.

Квантование Гупты-Блейлера

Этот подход пытается сохранить лоренц-инвариантность. Это значит, конечно, что необходимо особенно позаботиться, чтобы состояния с отрицательной нормой не испортили свойств -матрицы. В методе Гупты-Блейлера действие остается полностью релятивистским, но ограничение (1.4.8) налагается на векторы состояния:

(Заметим, что приведенное выше уравнение является устраняющим духи ограничением, поскольку его можно использовать для устранения Этот формализм позволяет нам сохранить коммутаторы полностью релятивистскими:

Здесь мы выбрали Заметим, что это калибровочное ограничение естественно обобщается до уравнения Клейна-Гордона:

Важность формализма Гупты-Блейлера определяется тем, что именно в этом формализме было выполнено большинство вычислений в теории струн.

Квантование BRST

Преимущество формализма BRST [45, 46] состоит в том, что оно является явно лоренц-инвариантным. Но вместо восстановления унитарности наложением калибровочных ограничений на гильбертово пространство, что может оказаться весьма трудным на практике, формулировка BRST использует духи Фаддеева-Попова для сокращения частиц с отрицательной метрикой. Так, хотя функции Грина не являются унитарными из-за распространения состояний с отрицательной метрикой и духов, окончательная -матрица унитарна, поскольку нежелательные частицы взаимно уничтожаются. Поэтому формализм BRST включает лучшие черты обоих формализмов, т. е. явную лоренц-инвариантность формализма Гупты-Блейлера и унитарность кулоновского (или конусного) формализма. Для изучения формализма BRST, однако, необходимо сначала понять квантование Фаддеева-Попова.