§ 1.4. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ

До сих пор мы обсуждали лишь нерелятивистские частицы, и все степени свободы были физическими. Однако при обобщении предыдущего обсуждения на случай релятивистских частиц возникают нетривиальные осложнения. В частности, множитель появляющийся в лоренцевой метрике, в общем случае вызовет распространение в рамках теории нефизических состояний. Эти нефизические «духовые» состояния, имеющие отрицательную вероятность, должны быть

тщательно устранены, чтобы обеспечить построение разумной, удовлетворяющей принципу причинности теории, не содержащей состояний с отрицательной нормой.

Для релятивистского случая предположим, что положение точечной частицы задается четырехмерным вектором

где параметризация не обязательно обозначает время. Действие имеет особенно простой вид и пропорционально длине четырехмерного пути:

Длину пути можно выразить через координаты:

Точка здесь означает дифференцирование по параметру . Это действие, в отличие от введенного ранее нерелятивистского действия, инвариантно относительно замены фиктивного параметра . Сделаем замену переменной

Тогда получим

Итак, действие инвариантно относительно произвольной замены переменной (репараметризации).

Инфинитезимально это можно записать так:

Как и прежде, мы можем ввести канонически сопряженные переменные:

Решающее отличие от предшествующего обсуждения нерелятивистской точечной частицы заключается, однако, в том, что не все канонические импульсы независимы. Действительно, мы обнаруживаем, что между ними существует связь:

Итак, условие на массовой поверхности возникает в качестве точной связи между импульсами. При вычислении гамильтониана этой системы обнаруживаем, что

Гамильтониан тождественно обращается в нуль.

Эти необычные черты, обращение в нуль гамильтониана и связи на импульсы, типичны для систем с избыточными калибровочными степенями свободы. Инвариантность относительно репараметризации, например, говорит о том, что выписанный ранее континуальный интеграл на самом деле расходится:

Причина этого в отдельных вкладах от каждой частной параметризации. Но поскольку параметризационно инвариантно, это означает, что мы суммируем по бесконечному числу копий одного и того же объекта. Поэтому интеграл этот должен расходиться.

Дирак, однако, объяснил, как квантовать системы с избыточными калибровочными степенями свободы. Например, введем канонические импульсы и наложим условие связи с помощью множителей Лагранжа следующим образом:

Условие связи (1.4.8) наложено здесь как классическое уравнение движения. Варьируя получим связь на импульсы. Квантовомеханически, однако, эта связь налагается взятием континуального интеграла по е. При этом интегрировании получаем

где мы использовали тот факт, что интеграл от (или преобразование Фурье от числа 1) равен Заметим, что новый лагранжиан (1.4.11) все еще обладает калибровочной степенью свободы. Он инвариантен относительно преобразования

Преимущество этого действия над предыдущим состоит в том, что все переменные входят в него линейно. Не придется тревожиться об осложнениях, вызываемых квадратным корнем. (Поле которое мы ввели, станет метрическим тензором когда мы обобщим это действие применительно к струне.)

Проведем теперь функциональное интегрирование по переменной

Итак, мы теперь получили третью версию действия для точечной частицы. Преимущество этого действия состоит в том, что оно линейно по координатам и инвариантно относительно преобразования

В итоге мы нашли три эквивалентных способа описания точечных релятивистских частиц. Лагранжиан «второго порядка» (1.4.14) выражен через производные второго порядка от переменной и поля е. «Нелинейный» лагранжиан (1.4.3) выражен только через Его можно вывести из (1.4.14) функциональным интегрированием по полю е. И наконец, гамильтонова форма описания содержит как так и канонические сопряженные им переменные (она имеет первый порядок относительно производных):

Все три формы инвариантны относительно репараметризации. У каждой есть свои преимущества и недостатки. Это упражнение в выражении действия свободной релятивистской частицы тремя разными способами важно, поскольку оно непосредственно переносится в формализм теории струн. Выраженные в форме континуального интеграла, теория точечной частицы и теория струны замечательно похожи друг на друга.