§ 5.6. МНОГОПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ

Многопетлевую функцию также можно выписать в явном виде через континуальные интегралы по римановым поверхностям с отверстиями. Главная трудность при построении этих амплитуд - это выбор параметризации римановой поверхности. Для многопетлевых амплитуд было разработано четыре типа параметризаций.

(1) Группы Шоттки. Многопетлевые амплитуды, первоначально вычисленные в этом формализме [2-8], обсуждаются в настояшем разделе. Такая параметризация римановой поверхности обладает несколькими преимуществами. Во-первых, она является явной. Не приходится гадать о выборе переменных интегрирования, они известны точно. Фактически эти переменные наглядно связаны с топологической структурой римановой поверхности. Во-вторых, амплитуды факторизуются (поскольку это представление исходно вычислялось сшиванием многорезонансных вершинных функций). Поэтому можно показать унитарность. Недостаток этого формализма тот же, что и у других, а именно неочевидность модулярной инвариантности. Область интегрирования приходится обрезать вручную.

(2) Метрики с постоянной кривизной. Этот формализм, который будет рассмотрен в следующем разделе, основан на римановых поверхностях с постоянной гауссовой кривизной. Его преимущество в том, что он естественным образом возникает при квантовании действия Полякова. Другое его преимущество - наличие в математической литературе множества работ по римановым поверхностям постоянной кривизны. Его недостаток, как и представления Шоттки, в том, что модулярная инвариантность амплитуд для высших петель по-прежнему неочевидна. Область интегрирования приходится обрезать вручную. В отличие от представления Шоттки, однако, явные представления модулярных параметров для произвольных поверхностей с постоянной метрикой встречаются редко. Кроме того, поскольку этот формализм не выведен сшиванием трехрезонансных вершинных функций, то факторизация, а следовательно, и унитарность неочевидны.

(3) Тэта-функции. Это, по-видимому, наиболее естественный формализм, поскольку модулярная инвариантность встроена в него с самого начала. Мы рассмотрим его в разд. 5.11. Этот метод основан на обобщении тэта-функций, введенных в (5.2.11) для однопетлевой амплитуды, включающем квазипериодические функции нескольких переменных. Естественной переменной интегрирования служит сама матрица периодов которую можно определить для всякой римановой поверхности. Этот формализм также легко обобщить, включив в него тэта-функции, определенные на различных спиновых структурах. Хотя этот формализм весьма перспективен и активно изучается, у него есть и серьезные недостатки. Например, если петель больше чем три, то пространство модулей становится очень неудобно параметризовать матрицей периодов. (Трудность параметризации пространства модулей матрицей периодов в случае большего, чем три, количества петель известна как «проблема Шоттки». Лишь недавно математикам удалось решить эту проблему. К сожалению, ее решение сильно нелинейно, и еще многое предстоит сделать, чтобы развить этот формализм для случая, когда петель больше трех.) Как и в предыдущем формализме, факторизация (а следовательно, и унитарность) неочевидна. Тэта-функции для высших петель строятся посредством умелого угадывания и обращения к единственности окончательного результата, а не сшиванием вершинных функций.

I) Формализм светового конуса. Поскольку метод конусных координат основан на использовании только физических переменных, без всяких духов, то этот формализм обладает явной унитарностью, и поэтому естественно ожидать, что он автоматически обеспечивает одно покрытие пространства модулей. Это предположение, которое никогда прежде не приходило в голову математикам, изучавшим Пространства модулей, недавно было доказано во всех порядках. Мы вкратце обсудим формализм светового конуса в конце этой вы, поскольку он будет подробнее развит в следующей главе при изложении полевой теории струн. Преимущество конусного

формализма - его явная унитарность, факторизуемость, модулярная инвариантность и простота обобщения на настоящую вторично квантованную теорию поля. Недостаток - то, что он с очевидностью обла дает фиксированной калибровкой.

Конечно, все эти четыре формализма должны в итоге привести к эквивалентным результатам.

Сначала обсудим группы Шоттки и перепишем однопетлевую амплитуду в форме, которую проще всего обобщить на многопетлевыс диаграммы. (Мы рассмотрим метод -функции в разд. 5.11.) Определим проективное преобразование (2.7.1), порождающее группу собом, подчеркивающим его геометрические свойства. Определим неподвижные точки проективного отображения как точки, которые это преобразование переводят в самих себя:

Тогда мы сможем выразить произвольное проективное отображение, имеющее три независимых параметра, через эти две неподвижные точки и множитель X:

Другая удобная форма записи проективных отображений - это

Преимущество записи проективного отображения с помощью множителя состоит в том, что множители для произведений проективных преобразований находятся просто:

Посредством проективного преобразования любое Р может быть приведено к виду

Заметим, что след отображения Р можно записать как

Это в свою очередь позволяет определить «смежные классы». Два проективных преобразования принадлежат одному и тому же смежному классу, если у них один и тот же множитель.

В зависимости от множителя можно определить несколько типов проективных преобразований:

(1) гиперболическое, если X веществен, положителен и не равен 1 единице.

(2) Р параболическое, если X веществен и равен единице.

(3) Р эллиптическое, равен единице и X не равен единице.

(4) локсодромическое, если X комплексен и не относится ни к одному из перечисленных выше случаев.

Для вещественных проективных преобразований множитель может бить и меньше, и больше единицы в зависимости от того, выполняется ди условие или же верно противоположное. Поэтому мы вольны выбрать все наши проективные преобразования гиперболическими, чтобы множитель был меньше единицы. Для одной петли мы получим, что проективное отображение равно

Таким образом, множитель однопетлевого преобразования - это просто само

Заметим, что с проективными преобразованиями связано параметров. Однако, как мы отметили ранее, 3 точки, лежащие на вещественной оси, всегда могут быть фиксированы вследствие проективной инвариантности. Поэтому -петлевой амплитуды будет параметра, описывающих соответствующую риманову поверхность. Они называются параметрами Тейхмюллера и составляют наименьшее число параметров, необходимых для задания неэквивалентных римановых поверхностей с краем. Для замкнутой струны у нас будут сферы и комплексные проективные операторы, так что число параметров будет Равно Итак:

наглядности можно представить, что необходимы два параметра, чтобы задать положение центра отверстия, и еще один, чтобы задать его радиус. Всего потребуется параметров для описания поверхности с отверстиями. Из этого числа нужно вычесть 3, чтобы устранить конформно эквивалентные способы помещения внешних линий на вещественной оси. В итоге получим параметров.) Теперь перепишем подынтегральное выражение для однопетлевой функции, выразив ее через явно инвариантные функции. Из (5.6.4) видно, что функцию распределения можно записать в виде

Таким образом, функция распределения теперь записана через набо проективных преобразований

Затем мы можем выразить через проективные преобразования подынтегральное выражение для импульсов. Ранее мы показали, что комбинация

легко преобразуется под действием проективного отображения из-за сохранения импульса и того факта, что внешние линии лежат на массовой поверхности. Теперь нам надо показать, что однопетлевос подынтегральное выражение может быть записано как инвариантное:

Поэтому интеграл для однопетлевой диаграммы можно записать как

Совершенно обязательно нужно определить, по какой области комплексной плоскости производится интегрирование. На рис. 5.10 показано, как верхняя полуплоскость разбивается на эквивалентные секторы под действием оператора Р. Заметим, что проективное преобразование отображает окружности в окружности. Поэтому точка, расположенная вблизи от одной неподвижной точки, в результате повторных действий на нее оператора Р постепенно перемещается к другой неподвижной точке. В ходе этого процесса верхняя полуплоскость разбивается на

Рис. 5.10. Действие проективного преобразования. В результате последоватьного применения одного и того же проективного преобразования окружности, окружающие одну неподвижную точку, отображаются в окружности, окружающие другую неподвижную точку. После бесконечного числа проективных преобразований произвольная точка любой из этих окружностей оказывается сколь угодно близкой к неподвижной точке.

непресекающиеся области. Мы можем выбрать в качестве области интегрирования любую из этих непересекающихся областей. На этом рисунке мы выбрали область, лежащую на полпути между двумя этими подвижными точками. Стрелки показывают, как некая точка переедается под действием Р, т. е. мы видим идентификацию точек на поверхности. Если добавить внешние линии, они будут лежать только на и смогут двигаться лишь к краю области, ограниченной этими окружностями.

Такая процедура легко обобщается на многопетлевые амплитуды, потребуем выполнения следующих условий:

(1) Проективной инвариантности относительно преобразований группы Для -петлевой амплитуды должно быть проективных операторов.

(2) Модулярной инвариантности для замкнутой струны, чтобы интегрирование проводилось по одной фундаментальной области в пространстве параметров.

Одних этих соображений инвариантности почти достаточно, чтобы однозначно записать многопетлевую амплитуду.

Сначала найдем многопетлевую расходимость. Пусть набор

представляет вещественных проективных отображений, таких что их неподвижные точки последовательно расположены на вещественной оси. Пусть обозначает множество всех несовпадающих между собой произведений различных преобразований Р, возведенных в произвольные положительные или отрицательные степени. (На рис. 5.11 видно, что неподвижные точки все лежат на вещественной оси.) Множество образует группу. Наша область интегрирования представляет собой отрезок вещественной оси, находящийся между предельными точками элементов группы Если предельные точки всех элементов группы заполняют всю комплексную плоскость, то этот случай нам

Рис. 5.11. Представление Шоттки двухпетлевой диаграммы открытой струны. Имеются два набора неподвижных точек, лежащих на вещественной оси, соответствующих каждому из двух проективных преобразований. Окружности, окружающие неподвижные точки, должны быть отождествлены между собой.

неинтересен. Тогда области интегрирования для наших переменных не существует.

Нас интересуют такие группы предельные точки которых образуют дискретное множество на вещественной оси, так что имеется конечная область интегрирования. Группы, обладающие таким свойством, называются группами Шоттки.

Пусть представляет все различные произведения этих преобразований с точностью до циклических перестановок. Тогда расходящийся член для -петлевой амплитуды есть произведение по множеству [4, 5]:

Зависящий от импульсов член дается произведением по множеству

Поэтому подынтегральное выражение для -петлевой амплитуды выписывается удивительно просто. Единственная трудность состоит в том чтобы определить область интегрирования способом, сохраняющим проективную инвариантность. Окончательная формула для -петлевой амплитуды с М внешними тахионными линиями есть [2-8]

где

Здесь латинские индексы и представляют внешние тахионные линяя» а греческие индексы - только петлевые переменные. Каждое проективное преобразование Р имеет две неподвижные точки и множитель:

Произведение по группе берется по всем неэквивалентным произведениям проективных операторов (Мы исключили те произведения,

которые содержат повторный счет, т. е. если некоторый элемент группы является произведением преобразований, приводящим к преображению то он не должен действовать на неподвижную точку преобразования иначе получится повторный счет.)

Важной стороной такой формы записи подынтегрального выражения лиляется область интегрирования, которая должна учитывать каждую конформно неэквивалентную конфигурацию один и только один раз.

На вещественной оси мы всегда можем сделать такое проективное преобразование, которое соберет все внешние линии по одну сторону, а все неподвижные точки - по другую сторону от некой точки. (Если точка лежит слева от неподвижных точек проективного преобразования перемещает через свои неподвижные точки направо. Таким образом, последовательными проективными преобразованиями мы можем сдвинуть все внешние линии на одну сторону вещественной оси, а все неподвижные точки - на другую ее сторону.) Нужно, однако, проявить осторожность, чтобы исключить такое проективное отображение, которое могло бы сдвинуть некую точку в обход всей диаграммы. Преобразование

обладает свойством сдвигать точки вдоль всей вещественной оси мимо всех неподвижных точек. Следовательно, необходимо извлечь периодичность, связанную с обходом вещественной оси произвольное число раз.

Пусть означают неподвижные точки этого произведения. Тогда получаем следующие пределы интегрирования:

Здесь наложено ограничение, что все множители для включая произведение Р, остаются меньше или равны единице. Конечно, существуют другие эквивалентные выборы области интегрирования, поскольку мы приняли один конкретный способ обрезания этой области. В частности, можно было бы поместить внешние линии между неподвижными Точками разных проективных операторов. Поскольку множество являлось группой Шоттки, мы можем быть уверены, что область интегрирования для наших переменных конечна. (Нужно отметить, что вычисление многопетлевых амплитуд было проведено в 1970 г. с применением проективных операторов, уничтожающих духи на ведущей траектории.

Духовых полей формализма BRST это вычисление можно проделать заново чтобы устранить все возможные духи. В силу единственности Неймана на поверхности можно ожидать, что результат будет тем же.)

До сих пор мы обсудили лишь многопетлевые амплитуды для окрыттой струны. Теперь обобщим эти предыдущие выводы, непосредственно выписав функцию Неймана для сферы с ручками или отверстиями применительно к сектору замкнутых струн [21].

Рис. 5.12. Гомологические циклы на произвольной замкнутой римановой поверхности. Циклы суть замкнутых линий на поверхности рода которые невозможно непрерывными деформациями стянуть в точку. Разрезав поверхность вдоль -циклов, можно развернуть ее в плоскость, на которой вырезано отверстий. Заметим, что -циклы переходят при этом в линии, соединяющие пары отверстий, определенные -циклами.

Сначала рассмотрим комплексную плоскость с прорезанными в ней отверстиями. Назовем область, лежащую вовне этих отверстий, областью Назовем также эти пары отверстий -циклами и где Проективные преобразования, как мы видели, отображают окружности на окружности, поэтому можно определить проективных преобразований переводящих каждый -цикл в соответствующий ему -цикл (см. рис. 5.12):

Эти проективные преобразования разумеется, могут в свою очередь быть параметризованы двумя неподвижными точками и множителем Мы увидим, что эти неподвижные точки лежат внутри соответствующих -циклов, так что они не принадлежат комплексной плоскости с вырезанными отверстиями. В общем случае точка, принадлежащая поверхности (области, внешней относительно всех -циклов),

переводится преобразованием Р, во внутренность одного из -циклов.

Кроме -циклов, у нас имеются также -циклы, соответствующие фрезам по линии, соединяющей , с . Поэтому эти -циклы суть окружности, окружающие отверстие, если мы рассматриваем сферу с отверстиями. Заметим, что проективное преобразование на одиопетлевой диаграмме переводит внутренние радиусы соответствующего кольца в его внешние радиусы. Итак, проективные преобразования порождают движение вдоль -циклов. В общем случае проективные преобразования Р, отображают точки одного -цикла в точки сопряженного ему -цикла, так что мы движемся вдоль некоторого -цикла.

Теперь определим как произведение всех различных произведений разных Заметим, что индекс меняется от 1 до тогда как

I пробегает по бесконечному набору индексов. Теперь определим функцию у:

Штрих у знака суммы означает, что мы включаем либо либо но не оба этих оператора. Казалось бы, функцию Неймана естественно определить выражением

Однако такая функция не обладает правильными свойствами. Мы стремимся определить автоморфные функции, изменяющиеся лишь на константу при обходе различных петель в плоскости Вышеприведенное выражение не обладает этим свойством периодичности, которое являлось решающим критерием для функции Неймана. Поэтому такая функция не может быть автоморфной.

Однопетлевая функция, напротив, этим свойством обладает. Заметим, что функция например, изменяется на в результате обхода по -циклу:

При пересечении -цикла она изменяется на

Эти величины называются периодами функции Отношение этих триодов равно

и называется матрицей периодов. Итак, есть матрица периодов для однопетлевой функции.

Этим способом можно показать, что вся однопетлевая функция

Неймана изменяется лишь на постоянную при обходе вокруг а-Ь-циклов.

Можно показать, что предложенная выше функция (в качестве возможной -петлевой функции Неймана) при обходе вокруг а-цикла остается неизменной:

Однако можно показать, что при обходе вокруг -цикла, задаваемого преобразованием она меняется. Она не является периодической, так как

где

(знак суммы просто означает, что с целью избежать двойного счета в комбинации необходимо опускать любое преобразование могущее подействовать на неподвижную точку соответствуют коэффициентам в исходном определении проективного отображения. Если вычислить функцию и переместить вокруг а- или -цикла, получим

где

Матрица полученная вычислением изменения вследствие обхода b-цикла, снова называется матрицей периодов и является естественным обобщением матрицы периодов найденной ранее для однопетлевой диаграммы в (5.5.2) и (5.6.25).

С помощью этого обобщенного определения матрицы периодов можно выписать полную функцию Неймана, обладающую правильными свойствами периодичности. Изменим так, чтобы выполнялось

Тогда функция Неймана примет вид

Собирая все вместе, мы можем записать -петлевую амплитуду замкнутой струны. По сравнению с однопетлевой амплитудой имеем следующие изменения:

(1) Однопетлевая функция распределения принимает вид

где мы взяли кратное от произведения по всем неэквивалентным смежным классам выражения Фактор который был связан с матрицей периодов, теперь заменяется на детерминант -петлевой матрицы периодов:

(3) Другой множитель, а именно

появляется в выражении для амплитуды.

Окончательный результат поэтому имеет вид [21]

Здесь интегрирование проводится по фундаментальной области поверхности с отверстиями.