§ 8.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ USG

Уяснив структуру калибровочной группы, мы можем сделать следующий шаг, придерживаясь основной стратегии (8.1.1), и выписать связности, что, конечно, подразумевает знание неприводимых представлений группы и ее постоянных тензоров (коэффициентов Клебша-Гордона).

Известны три неприводимых представления USG. Первое из них - неприводимое представление струнной группы уже обсуждение нами. Второе называется модулем Верма V. Оно впервые встретилось нам в (4.1.42) и в дальнейшем будет отмечаться греческими индексам Третье представление, которое содержит присоединенное пред. ставление А группы Diff(S), мы назовем струнным представлением и будем отмечать непрерывными индексами от, изменяющимися от нуля до параметризационной длины а его фурье-компоненты латинскими буквами тип (см. [6-9]).

Ключевой шаг был сделан в (7.1.27), где мы отождествили вспомогательные поля с совокупностью компонент модуля Верма.

V-представление

Пространство представления для модуля Верма V строится из генераторов группы Diff(S) путем образования универсальной обертывающей алгебры. Определим контравариантный вектор формулой

где

Индекс а обозначает бесконечный ряд элементов с числом состояний на каждом уровне где число делителей целого а каждое представление отмечается . Произвольный элемент полной группы Diff(S) (а не только подгруппы запишем как

По непрерывному струнному параметру от подразумевается интегрирование, если он встречается дважды. Поэтому

Определим действие групповых генераторов на элементе модуля

Отметим, что действуя на элемент модуля Верма в (8.4.1), всегда создает другой элемент того же модуля. На самом деле константы являются коэффициентами Клебша-Гордона для тензорного произведения модуля Верма V с присоединенным представлением А (которое включает генераторы т. е.

В свою очередь это позволяет определить ковариантное поле такое

что

является инвариантом:

Последние выражения можно компактно представить в следующем виде:

Для этого представления V также можно определить оператор, поднимающий и опускающий индексы. Пусть

обозначает присоединенный кет-вектор. Тогда имеем контравариантную форму

Детерминант матрицы называется детерминантом Каца (см. (7.1.2)), и в случае, когда он отличен от нуля, представление оказывается неприводимым, а матрица обратимой. Таким образом, операция

превращает ковариантный вектор в контравариантный и наоборот.

Поэтому легко показать, что и ее обратная матрица являются операторами, поднимающими и опускающими индексы представления V.

S-представление

В дополнение к V-представлению существует также второе представление группы Diff(S), называемое нами струнным представлением являющееся конформным представлением, введенным в (4.1.28) (за Исключением того, что его элементы есть функции только а, а не кдое неприводимое представление определяется весом а каждый Элемент внутри представления веса отмечается непрерывным Рунным параметром или своими фурье-компонентами (см. (4.1.14)):

В более компактной форме

где

(Важно помнить, что присоединенное представление А, содержащее является членом струнного представления S веса 2.)

Эти константы есть не что иное, как коэффициенты Клебша- Гордона для следующего тензорного произведения:

Мы можем перемножить два поля различных весов и получить при этом новое поле, преобразующееся по неприводимому представлению, вес которого равен сумме двух индивидуальных весов перемножаемых полей:

Более того, после интегрирования по от представление с весом 1 оказывается инвариантом относительно действия группы Diff(S). Это тождество будет положено в основу при построении инвариантных действий:

(Отметим, что инвариантно, причем преобразуется ковариантно с весом преобразуется контравариантно с весом

Важный момент также состоит в том, что дельта-функция

не является постоянным тензором группы Diff(S). Следовательно, мы не можем поднимать и опускать индексы этого представления постоянный тензор, но его нельзя использовать для поднятия и опускания индексов). Этот маленький, но важный факт наложит чрезвычайно жесткие ограничения при построении окончательного действия (й фактически заставит нас отказаться от действия вида а вместо этого использовать действие Черны-Саймонса

Выполним произвольную репараметризацию струны, обозначаемую ест. Тогда, согласно правилу дифференцирования сложной функций скалярное поле преобразуется как

Таким образом, для построения действия можно использовать свойство

инвариантности интеграла скалярного поля:

Обобщим это выражение и найдем, как элементы V или преобразуются при произвольной репараметризации струны:

Здесь матрица следующим образом параметризует указанное преобразование:

Теперь, когда мы умеем обращаться с модулями Верма, обратим внимание на то, что упомянутая ранее калибровочная группа на самом деле может быть обобщена. Свяжем с каждой струной С генераторы где а - модуль Верма. Тогда алгебра (8.3.10) незначительно изменяется:

т.е. мы расширяем нашу первоначальную калибровочную группу, включая преобразования на модулях Верма. В этом выражении были введены новые коэффициенты Клебша-Гордона для тензорного произведения модулей Верма:

Замечательно, что эти коэффициенты Клебша-Гордона можно определить единственным образом на основании только теории групп. Пусть -новая вершина, такая что

и удовлетворяет уравнению

К счастью, действуя генераторами алгебры Вирасоро на эту вершинную функцию, можно показать, что одного этого условия достаточно для определения всех величин Это значит, что (7.4.12) может быть получена как калибровочно-фиксированный вариант при использовании вершины, определяемой уравнением (8.4.25). Поэтому нам не нужно постулировать форму духовой вершинной функции. Она

появляется автоматически как коэффициент Клебша-Гордона для

Преимущество этого нового коэффициента Клебша-Гордона заклю. чается в том, что он позволяет перемножать поля, имеющие индексы модуля Верма. Например, выражение

в полной записи означает, что

Поскольку основные поля будут преобразовываться как модули Верма такой закон умножения окажется наиболее удобным. Другими словами, мы определим символ произведения х формулой

(Зафиксировав калибровку таким выбором параметризации, как «калибровка, склеивающая в средней точке», мы находим, что наше правило умножения сводится к правилу умножения для операции введенной в

Наконец, мы хотим указать постоянные тензоры для USG. Для обычной группы Лоренца в случае теории точечной частицы, как известно, существует три постоянных тензора: 8, антисимметричный тензор и матрица Дирака

На самом деле матрица Дирака представляет собой коэффициент Клебша-Гордона, найденный для тензорного произведения спинора и вектора:

Здесь - базисные состояния для четырех спиноров. Как ни странно, USG имеет набор постоянных тензоров, весьма отличных от случая лоренцовской группы, что повлияет на форму конструируемых нами инвариантных действий. Во-первых, дельта-функции не являются постоянными тензорами. (В этом можно убедиться, заметив, что ни ни не инвариантны относительно Diff(S). Кроме того, хотя и являются постоянными тензорами, но их нельзя использовать для поднятия или опускания индексов.) Такая ситуация сильно усложняет поиск действия. К примеру, мы получаем, что отсутствует аналог оператора в теории Клейна-Гордона или квадрата тензора кривизны в теории Янга-Миллса.

Однако именно группа Diff(S) имеет диракоподобный постояннь тензор которого греческие буквы обозначают индексы Верма. Как и матрица Дирака, этот постоянный тензор находится разложения Клебша-Гордона тензорного произведения модуля Верма

и струнного представления

Простое, но важноенаблюдение теории групп позволяет заключить, что Действие полевой теории струн будет более походить на уравнение Дирака, чем на уравнение Клейна-Гордона. Таким образом, не инвариант, является таковым. Добавим к этому, что произведение нескольких таких матриц также есть постоянный тензор: Итак, действие полевой теории струн будет отлично от действия типа Клейна-Гордона, поскольку постоянные тензоры для Diff(S) таковы: