§ 11.2. ОБЗОР ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИЙ ДЕ РАМА

Как изложено в приложении, теория дифференциальных форм начинается с нильпотентного оператора:

-форма со называется замкнутой, если

Аналогично она называется точной, если существует -форма а, такая, что

Заметим, что множество точных форм является подмножеством множества замкнутых форм:

В трехмерном случае эти утверждения можно объединить в хорошо известное утверждение о том, что градиент скалярного поля всегда имеет нулевой ротор:

Фактически теория форм позволяет просто переформулировать многие теоремы обычного тензорного исчисления в трех измерениях.

В теории Максвелла мы говорим, что два тензорных поля описывают одну и ту же физику, если они отличаются на полную

производную:

Это, конечно, составляет сущность калибровочной теории. Используя угот математический язык, будем говорить, что две формы со и со принадлежат одному классу эквивалентности, если они отличаются на замкнутую форму:

В теории Максвелла мы хотим построить множество всех неэквивалентных полей. В теории форм мы делаем это, определяя как множество всех замкнутых -форм по модулю точных форм, т. е.

Это определяет группу когомологий де Рама многообразия М.

Заметим, что группа когомологий подсчитывает, как много независимых замкнутых -форм может быть определено на данном многообразии. Когомологии, таким образом, зависят от локальной структуры многообразия. Однако, как предполагает само название, существует дуальность между когомологиями и гомологиями, отражающими глобальные свойства многообразия:

Чтобы сделать связь между гомологиями и когомологиями более точной, давайте определим, как установить эту дуальность. Начнем с записи интеграла по области С, определенной на многообразии М, где С может быть линией, поверхностью, объемом и т.д.:

Интеграл можно понимать как отображение, сопоставляющее -форме и поверхности С вещественное число. Таким образом, можно рассматривать операцию интегрирования как «скалярное произведение» формы и поверхности:

Теперь запишем известную теорему Стокса, обобщенную на -мерное пространство и сформулированную на языке форм:

где С является -мерным многообразием и определяется как

«граница» многообразия С. Перепишем теорему Стокса в терминах скалярного произведения:

Тем самым мы установили, что дуальным к когомологическому оператору является граничный оператор

Вследствие этой дуальности можно предположить, что граничный оператор также определяет группу, дуальную к группе когомологий, которую назовем группой гомологий.

Чтобы быть точными, поясним, что понимается под граничным оператором и поверхностью С, в терминах симплексов. Определим -симплекс как линейный отрезок, соединяющий точки -симплекс имеет определенную ориентацию или, иначе, направление:

Определим треугольник как -симплекс, задаваемый тремя точками или вершинами:

Отметим, что -симплекс сохраняет знак при циклической перестановке трех точек, но меняет его при антициклической перестановке. Очевидно, что, вводя -симплекс, можно обобщить это понятие:

(Заметим, что векторы, образующиеся после взятия разности двух точек должны быть линейно независимыми, в противном случае симплекс редуцируется к меньшей размерности.)

Теперь определим граничный оператор, отображающий -симплексы в -симплексы. Например,

где обозначает точку. Таким образом, мы определяем «границу» линейного отрезка как две его концевые точки. Действуя на треугольник, граничный оператор создает линейные отрезки:

Действуя на -симплекс (треугольник), граничный оператор просто переводит его в три ребра, образуемых отрезками или -симплексами.

Нетрудно убедиться, что граничный оператор является нильпотентным. Например, для простого случая треугольников имеем

Таким образом, получаем важный результат, заключающийся в том, что граничный оператор нильпотентен:

Это может быть обобщено на случай симплексов произвольной размерности. Определим действие граничного оператора на -симплекс:

где мы опускаем точки, обозначенные буквами со шляпками. Таким образом, граничный оператор отображает -симплексы в -симплексы. Нетрудно показать, что

для общего случая.

По аналогии с теорией когомологий, определим множество циклов как множество симплексов, удовлетворяющих условию

Возьмем, например, бублик, или двумерный тор. Существуют различные типы циклов, которые можно нарисовать на этой поверхности. Например, в гл. 5 мы видели, что на поверхности бублика есть два типа циклов, которые нельзя стянуть в точку непрерывным преобразованием. Однако на этой поверхности существует также цикл, являющийся просто замкнутой линией, который может быть непрерывно стянут в точку. Нам нужен метод, позволяющий исключать циклы второго типа.

Определим множество границ В как набор симплексов, которые могут быть записаны в виде границы некоторого симплекса С на единицу большей размерности:

Заметим, что множество границ является подмножеством во множестве Циклов:

Говорим, что два симплекса находятся в одном и том же классе эквивалентности, если они отличаются только на границу. Мы хотим ввести множество неэквивалентных симплексов; этого можно достичь, определяя группу гомологий:

Все это позволяет нам исключить лишние циклы на торе, стягиваемые в точку, удерживая только два независимых цикла, окружающих тор. Таким образом, концепция гомологий является естественной.