§ 5.3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ

Наиболее удобный язык для обсуждения плоских, неплоских и неориентируемых однопетлевых диаграмм - это операторный язык, конечно, является одним из представлений функциональных интегралов. Начнем с полоски в комплексной плоскости, заданной формулой т. е. множества всех точек от до Поместим точки взаимодействия с внешними линиями вдоль оси х. Как и выше, если выбрать эту область в качестве поверхности, по которой берется континуальный интеграл, то можно всюду вставить полный набор

промежуточных состояний:

тогда мы получим континуальный интеграл

Как и выше, мы отмечаем, что выражение возможно потому, что гамильтониан диагонален в базисе гармонических осцилляторов. Устраняя функциональное интегрирование во всех промежуточных вдоль полоски, получаем первую плоскую петлевую амплитуду, выраженную на операторном языке:

Для вычисления многопетлевых амплитуд решающее значение имеет правильный выбор калибровки. Тождества (2.9.5) показывают, что для древесных амплитуд духовые состояния не взаимодействуют с деревьями, так что их в сущности можно игнорировать. Однако в силу (2.2.9) факторизованные деревья все же взаимодействуют с духовыми состояниями, так что последние будут распространяться по петле до тех пор, пока не подвергнутся тщательному устранению. Та же трудность возникает при квантовании теории Янга-Миллса (что не удивительно, поскольку и теория Янга-Миллса, и теория струи являются калибровочными).

Существует три стандартных способа устранения духов в петлевых амплитудах. Во-первых, можно ввести операторы проектирования, иным образом устраняющие духи из гильбертова пространства. Однако этот метод весьма громоздок и чрезмерно труден для фермионных петель. Во-вторых, мы можем позволить духам Фаддеева-Попова распространяться и сокращаться с духовыми состояниями. Используя метод BRST и конформную теорию поля, можно вычислить даже высшие фермионные петлевые амплитуды. И в-третьих, мы можем использовать калибровку светового конуса, что мы и сделаем в настоящей главе.

Преимущество выбора конусной калибровки - то, что она сильно упрощает вычисления. Духовые состояния в большинстве случаев можно просто игнорировать.

В дополнение к конусной калибровке, мы также выберем специальную кинематическую систему отсчета для внешних линий многочастичной амплитуды, определяемую условием

(Мы должны предупредить читателя о существовании некоторых кинематических трудностей при наложении этого условия для произвольного числа внешних частиц с произвольным спином. Например, потребоваться аналитическое продолжение внешних компонент

импульсов для сохранения такой системы отсчета. Тщательный анализ показывает, что мы всегда можем выбрать ее в случае, когда число внешних бозонных линий не превышает 26, а суперсимметричных линий не больше 10. Подход калибровки светового конуса не создаст при этом серьезных трудностей, поскольку всегда можно сделать лоренцев поворот вершинных функций к такой системе отсчета, что плюсовые компоненты импульсов будут ненулевыми. Калибровка светового конуса совместима с любыми значениями плюсовых компонент импульсов. Поэтому мы не будем далее обсуждать этот тонкий вопрос.)

К счастью, этот след легко вычислить, воспользовавшись формализмом когерентных состояний (2.6.18), (2.6.19), который мы применяли к древесной диаграмме:

где

Этот след можно вычислить в явном виде методами когерентных состояний. Применим тождество

Тщательно подсчитав значение разных факторов, получим

Мы можем также выполнить интегрирование по

Собирая все вместе, получаем [13, 14]

где

а функция здесь просто упорядочивает различные факторы вдоль вещественной оси.

Это есть окончательный результат для плоской однопетлевой амплитуды. Обратите внимание на некоторые свойства, которыми он обладает. Перечислим их.

(1) Как и предсказывалось методом континуального интеграла, подынтегральное выражение является автоморфной функцией.

(2) Мера интегрирования легко вычисляется в подходе гармонических осцилляторов. (Ее вычисление несколько сложнее в подходе континуального интеграла.)

(3) Интеграл расходится при что соответствует стягиванию внутреннего отверстия к нулевому радиусу. Расходимость мягкая и может быть устранена добавлением к струнам их суперсимметричных партнеров.

Для ссылок в дальнейшем определим одновременно плоские неплоские и неориентируемые подынтегральные выражения:

Эти функции в свою очередь можно выразить в таком виде, что их связь с тэта-функциями Якоби станет более очевидной:

Явным образом выразив их через тэта-функции, получим

Теперь, когда мы получим результат для плоской однопетлевой диаграммы, вычислим неориентируемую однопетлевую функцию. След, который нам нужно подсчитать, это

где есть оператор твиста из (2.7.13). Заметим, что этот оператор можно поместить в любом месте цепочки и результат от этого не изменится. След вычисляется тем же методом когерентных состояний, основное отличие в том, что заменяется на Окончательно получим

Заметим, что область интегрирования представляет собой удвоенную обычную область от 0 до 1. Причинв в том, что для полного обхода листа Мебиуса внешние линии должны дважды обойти его край (см. рис. 5.5). Этот факт в конечном итоге будет играть решающую роль в сокращении аномалий в гл. 9.

Неплоские диаграммы также можно обсчитать. Заметим, что помещение четного числа твистов в петлевую диаграмму разбивает внешние линии на два класса: обходящие петлю по внешнему краю и обходящие ее по внутреннему. Конечный результат зависит от того, какие линии прикрепляются к внешнему, а какие к внутреннему краю. Поместим операторы твиста так, что линии от первой до отделены от остальных

Интегрирование можно выполнить, и в результате получится [15]

Рис. 5.5. Интегрирование вокруг листа Мебиуса. Для листа Мебиуса внешняя линия должна дважды пройти по его длине, чтобы описать полный путь по его границе. Поэтому для неориентируемой полосы область интегрирования вдвое больше, чем для плоской.

где мы используем если линии находятся на противоположных сторонах диска и если они лежат на одной его стороне. Область интегрирования для линий отражает тот факт, что на диске имеется две непересекающиеся области. Внешние линии интегрируются последовательно, с тем лишь изменением, что теперь у нас две непересекающиеся области.

Для удобства представим теперь все три амплитуды одним общим выражением

где

и где неплоская область интегрирования отражает наличие двух непересекающихся областей.

Теперь когда мы выписали явные представления для различных амплитуд открытых струи, введем из этих амплитуд несколько весьма примечательных следствий.

(1) Замкнутые струны из открытых струн

Одна из замечательных особенностей неплоской однопетлевой диаграммы - то, что у нее больше полюсов, чем их можно найти разложением по обычным каналам открытых струн [16]. Рассмотрев множитель

(где множитель (1/4) возникает из зависящей от импульсов части подынтегрального выражения), мы находим, что имеются дополнительные полюсы при совпадающие с местонахождением полюсов сектора замкнутых струн. Тем самым сектор открытых струн автоматически содержит в себе сектор замкнутых струн, Это легче всего продемонстрировать на примере дуальных диаграмм, представляя себе неплоскую диаграмму как цилиндр с двумя наборами внешних линий, которые могут вращаться, обходя вдоль верхнего или нижнего краев цилиндрической поверхности. Однако посредством факторизации мы можем разрезать цилиндрическую поверхность по горизонтали так, чтобы промежуточное состояние было замкнутой петлей. Тем самым замкнутая струна возникает как «связанное состояние» сектора открытых струн (см. рис. 5.6). Сектор замкнутых струн сам по себе является вполне унитарной теорией. Но сектор открытых струн сам по себе этим свойством не обладает. Мы видим, что

Рис. 5.6. Возникновение теории замкнутых струн из теории открытых струн, Забавное свойство теории открытых струн состоит в том, что уже на однопетлевом уровне она содержит теорию замкнутых струн в качестве «связанного состояния». Непланарная диаграмма для открытых струн может быть растянут так, что она превратится в цилиндр, который затем может быть разбит на два цилиндра меньшего размера. Поэтому промежуточное состояние должно быть замкнутой струной.

наличие открытых струн требует существования замкнутых струн качестве промежуточных состояний; в противном случае теория не будет унитарной. В самом деле, как заметил Лавлейс [17], эта нежелательная расходимость в комплексной плоскости для неплоской диаграммы фактически является разрезом (что было бы ужасно), но именно в 26-мерии она превращается в полюс. Действительно, это было первым указанием на то, что струнная модель непротиворечива лишь в 26-мерном пространстве.

(2) Перенормировка угла наклона

Заметим, что расходимость плоской диаграммы возникает из интегралов вида

Эта расходимость при соответствует отверстию в диске, стягивающемуся к нулю. Она возникает из-за того, что мы суммируем по бесконечному числу промежуточных состояний, распространяющихся во внутренности петли.

Но это не ультрафиолетовая расходимость, которую мы обычно связываем с фейнмановскими диаграммами. Для точечных частиц расходимости различных амплитуд возникают, когда мы деформируем локальную топологию конкретной диаграммы таким образом, что пропагатор стягивается в точку. Итак, расходимости фейнмановских диаграмм связаны с деформациями локальной топологии этих диаграмм.

В теории струн, однако, в силу конформной инвариантности мы не можем стянуть пропагатор в точку. Поэтому конформная инвариантность на мировой поверхности исключает ультрафиолетовые расходимости. Однако у нас по-прежнему остаются инфракрасные расходимости внутренних точек, стягивающихся к нулю.

Снова из конформной инвариантности следует, что мы всегда можем отобразить стягивающееся отверстие в дилатон или тахион, исчезающий в вакуум. Мы всегда можем «отщипнуть» это стягивающееся отверстие и извлечь резонанс замкнутой струны с вакуумными квантовыми числами, исчезающий в вакуум. Тем самым конформная инвариантность Дает совершенно новую интерпретацию расходимостей струнной теории. Эта новая интерпретация связывает с каждой расходимостью состояние замкнутой струны, «отщипнутой» от этого отверстия. Указанное состояние имеет нулевой импульс и соответствует тахионам для расходимостей порядка или дилатонам для расходимостей порядка исчезающим в вакуум (см. рис. 5.7).

После отщипывания стягивающегося отверстия и извлечения состояния замкнутой струны с обращающимся в нуль импульсом мы видим, что оставшаяся диаграмма выглядит совсем как дерево без отверстия. Итак, после извлечения вклада расходящегося полюса у нас останется конечное дерево. Это в свою очередь позволяет рассматривать расходимости

Рис. 5.7. Испускание лиллатона. В силу конформной инвариантности мы можем деформировать однопетлевую диаграмму для открытой струны и "прищепить" внутреннюю петлю. Полученная диаграмма соответствует испусканию тахиона или лилатона в вакуум, что приводит к инфракрасной расходимости. Теория суперструн строится так, чтобы эти полюсы не могли существовать, так что формально эта теория является конечной.

как переопределение свободного параметра, наклона траектории Редже Этот процесс, называемой «перенормировкой наклона», хорошо работает для дилатонного полюса но непонятно, как справиться с вкладом тахионного полюса Поэтому бозонная теория может оказаться не вполне свободной от расходимостей.

(3) Конечные суперструны

Опыт вычисления суперсимметричных петлевых диаграмм для теорий точечных частиц показал, что внутренняя бозонная линия сокращается с внутренней фермионной линией и в результате получаются амплитуды, значительно менее расходящиеся, чем ожидалось. То же самое происходит с суперструнами. Обратимся теперь к суперструнным диаграммам, для которых эту "перенормировку наклона" можно выполнить явным образом [18, 19]. Мы обнаружим, что расходимость №» в теории открытых струн сокращается сама с собой (это также ожидалось, поскольку в этой теории тахионов нет). Это оставляет только полюс так перенормировка угла наклона возможна. Действительно замечательный факт, однако, это то, что теория типа конечна сама по себе, без всякой перенормировки угла наклона.