§ 2.5. ДЕРЕВЬЯ

До сих пор мы квантовали только свободные струны. Взаимодействия струн можно определить либо через функционалы, либо с помощью гармонических осцилляторов. Из этих двух способов функциональные методы намного мощнее. Фактически мы можем рассматривать метод гармонических осцилляторов как одно специфическое представление метода функционалов. Для деревьев и даже для первой петли гармонические осцилляторы обеспечивают быстрый и удобный способ вычисления амплитуд, но для высших петель этот способ быстро становится непрактичным. Функциональный метод из-за его огромной гибкости всегда можно использовать и для вывода осцилляторного метода, применимого к деревьям и первой петле, и для вывода всех петель.

Исторически дуальная модель была впервые открыта случайно как квантовая амплитуда рассеяния тахионов. Эти амплитуды обладали замечательным свойством дуальности; это означает, что их можно разлагать или по -канальным полюсам, или по с-канальным полюсам. Обычно в теории точечных частиц суммирование фейнмановских диаграмм проводится раздельно для и -канальных полюсов (см. рис. 2.5), но дуальные амплитуды обладают полюсами в обоих каналах одновременно. Поэтому включение дуальных амплитуд в и -канальные полюса по отдельности привело бы к повторному счету. Для более сложных диаграмм мы видим, что одна и та же N-точечная амплитуда может быть разложена произвольным числом способов. Поскольку подсчет таких диаграмм - это не то же самое, что обычный подсчет фейнмановских диаграмм, то много лет ошибочно полагали, что

Рис. 2.5. Дуальность модели Венециано. Четырехточечную амплитуду можно разлагать как по так и по -канальным полюсам. Этим модель Венециано отличается от обычной теории поля для точечных частиц, в которой суммирование проводится сразу и по и по -канальным полюсам. Свойство дуальности применимо и к -точечной функции. По этой причине раньше считалось, что полевая теория струн невозможна. Такая теория, как полагали, была бы подорвана повторным счетом, особенно в высших порядках.

интерпретация дуальных моделей в рамках настоящей теории поля невозможна.

По аналогии со случаем точечных частиц начнем с определения -точечной амплитуды рассеяния для рассеяния тахионов [11-13]:

Это выражение и будет основным континуальным интегралом, из которого мы выведем теорию взаимодействующих струн. Оно будет единственной самой важной формулой в теории первичного квантования.

В этом выражении импульс от тахиона втекает через границу поверхности в точке Струнная переменная определена в этой точке на границе, где импульс втекает в диаграмму. Мера интегрирования является интегралом по различным который мы вскоре определим.

Это выражение существенно упростится выбором конформной калибровки. В частности, мы получим

На рис. 2.6 мы показываем, как упростить диаграмму взаимодействия струн. Позволив длине взаимодействия струн обратиться в нуль для внешних тахионов, мы видим, что поверхность взаимодействия струн может быть редуцирована к бесконечной горизонтальной полоске в комплексной плоскости, простирающейся от до при меняющемся от до

Заметим, что действие, хотя уже не является репараметризационно инвариантным, поскольку мы фиксировали калибровку все еще сохраняет конформную инвариантность. Поэтому, чтобы избежать повторного счета конформно эквивалентных поверхностей, мы возьмем в качестве множества топологий, по которым нужно суммировать, множество всех конформно неэквивалентных двумерных комплексных поверхностей.

Пусть мировая поверхность -точечного дерева представляет собой горизонтальную полосу шириной к в комплексной плоскости. Ось соответствует а ось e - переменной . Произведем замену переменных, перейдя к комплексной переменной по формуле

Это отображение переводит бесконечную полосу, представляющую мировую поверхность взаимодействующей струны (с тахионами нулевой ширины), в верхнюю полуплоскость комплексной плоскости.

К счастью, функциональный интеграл является гауссовым, и его можно вычислить с помощью тождеств, приведенных в предыдущей главе. Определим как решение классических уравнений движения:

где

Рис. 2.6. Конформные поверхности для распространения открытых струн. В плоскости струна распространяется по горизонтальной полосе шириной . Волнистые линии у нижней границы - это струны «нулевой ширины», т. е. внешние тахионы. В плоскости поверхность, по которой распространяются струны, превращается в верхнюю полуплоскость комплексной плоскости. Отображение одной поверхности на другую дается экспоненциальной функцией.

Здесь - точки вещественной оси на комплексной плоскости, соответствующие внешним тахионам нулевой ширины, взаимодействующим со струной. После виковского поворота по переменной это выражение превращается в уравнение Пуассона, известное в электростатике. Для его решения нужна функция Грина

Нам нужно вычислить функцию Грина с граничными условиями Неймана для верхней полуплоскости. Простейший способ сделать это - воспользоваться приемом, заимствованным из электростатики, а именно методом изображений. Поместим точечный заряд в точку в верхней полуплоскости. Рассмотрим другой точечный заряд в точке являющейся зеркальным отражением точки относительно вещественной оси; лежит в нижней полуплоскости. Если мы находимся на точечном заряде в точке верхней полуплоскости, то потенциал в этой точке

пропорционален

Заметим, что если мы находимся на оси х, так что - вещественное число, то производная функции Грина, нормальная вещественной оси, равна нулю. Поэтому граничные условия в точности совпадают с теми, которые нам нужны, и, стало быть, в силу теоремы единственности это и есть искомая функция Грина для верхней полуплоскости.

Теперь мы можем подставить эту функцию Грина в наш интеграл. Классическое значение X, служащее решением уравнения (2.5.4), это

Сделаем теперь сдвиг переменной интегрирования:

Итак, мы находим, что функциональные интегралы могут быть вычислены с помощью (1.7.10):

Здесь

Собирая вместе все в выражении (2.5.2), находим

(Заметим, что мы явным образом удалили -член, в котором он был бы расходящимся. Можно обрезать интеграл и все же сохранить конформные свойства теории. Мы обнаружим, что это обрезание нужно проводить методом гармонических осцилляторов.)

Теперь нужно завершить последний шаг, а именно зафиксировать меру

Первое предложение состоит в том, что если амплитуда выражена через то меру можно взять просто равной единице. Это правильный выбор, совместимый с конформной инвариантностью. Чтобы это доказать, вспомним, что выше мы утверждали необходимость суммировать

по всем конформно неэквивалентным поверхностям. Рассмотрим множество конформных преобразований, отображающих верхнюю полуплоскость на себя и таких, что вещественная ось также отображается на себя. Вообще говоря, точки вещественной оси, отображающиеся друг в друга, связаны некоторым подмножеством конформных преобразований, которые называются проективными преобразованиями, или преобразованиями Мебиуса:

Здесь вещественные числа, удовлетворяющие соотношению Этот набор четырех параметров образует вещественную матрицу с единичным определителем:

В общем случае группа, определяемая множеством всех вещественных матриц размера с единичным определителем, есть группа (см. приложение). Заметим, что эта группа преобразований может быть порождена следующими последовательными преобразованиями:

Итак, мы хотим, чтобы амплитуда, включая вклад меры, была проективно инвариантной.

Сделаем проективное преобразование подынтегрального выражения, чтобы увидеть, как оно преобразуется:

Нам нужно, чтобы наша мера компенсировала неинвариантный член приведенного выше выражения. Возьмем в качестве меры число 1 и ограничим область интегрирования условием Осталась одна последняя трудность. Нам по-прежнему необходимо «фиксировать калибровку» для проективных преобразований, чтобы избежать повторного счета диаграмм. Мы должны интегрировать один и только один раз по каждой проективно отличной от других конфигураций переменных Если внешний импульс втекает в верхнюю полуплоскость в точках, задаваемых переменными то мы можем фиксировать три из этих точек произвольным образом. Это соответствует «фиксации калибровки» для проективной инвариантности, отбирающей только проективно неэквивалентные параметризации. Конечный результат дается

формулой

где мы явным образом устранили вклад от трех фиксированных точек

Здесь - три точки, произвольным образом выбранные на вещественной оси. Отметим, что мы фиксировали значения трех переменных, так что мы интегрируем только по проективно неэквивалентным конфигурациям. (Если бы мы интегрировали по этим трем переменным, то получился бы повторный счет по области интегрирования. Мы интегрировали бы по бесконечному числу копий одного и того же объекта.) Простейший выбор этих трех фиксированных точек таков:

При такой конфигурации наш окончательный результат для -точечной амплитуды принимает вид [14-19]:

где область интегрирования есть

Это окончательный результат для -точечной амплитуды, который мы получили, используя только функциональные методы.

Подытожим сделанное.

(1) Мы взяли длины струн равными нулю для внешних тахионов, так что мировая поверхность -точечной амплитуды превратилась в горизонтальную полосу на комплексной плоскости; ширина этой полосы равна Импульсы, вносимые внешними тахионами, втекают в эту полосу в заданных точках расположенных на вещественной оси (см. рис. 2.6).

(2) Отобразив с помощью конформного преобразования эту полосу на верхнюю полуплоскость, мы в явном виде вычислили функцию Неймана, использовав известный в электростатике прием - метод изображений.

(3) Проектная инвариантность фиксирует интегральную меру равной числу 1. Мы упорядочили внешние точки условием

(4) Мы «фиксировали калибровку», ограничив степени свободы, оставшиеся в рамках проективных преобразований, т. е. фиксировали три из точек подынтегрального выражения.

Последнее выражение для -точечной амплитуды (2.5.19) охватывает только случай, в котором внешние тахионы входят в мировую поверхность в выбранных точках на границе. В принципе на границе могут находиться частицы с произвольным спином. Для высоких спинов мы получим тот же самый множитель представляющий часть преобразования Фурье, умноженный на тензор поляризации высших спинов. Поэтому вертексная функция для тахиона на самом деле - не которая универсальна для всех спинов, поскольку является частью преобразования Фурье. Подлинная вертексная функция для тахиона - это просто число один.

Вертексы для спина 2 можно представить в виде

где тензор поляризации. В общем случае