§ 7.3. ФИКСАЦИЯ КАЛИБРОВКИ

Покажем, что в предыдущем действии калибровка может быть фиксирована таким образом, что при этом получится или действие (7.2.11), или действие в калибровке светового конуса (6.3.33). для фиксации калибровки иногда полезно разложить оператор в соответствии с его нулевыми модами:

где

а -структурные константы алгебры Вирасоро. Так как оператор нильпотентен, эти операторы должны удовлетворять большому числу простых тождеств:

Процесс сведения этого действия к обычному начинается с определения духового вакуума теории.

В гл. 4 мы ввели оператор «духового числа» (4.4.20):

Этот оператор подсчитывает число с-мод за вычетом числа -мод. можем использовать его для нумерации собственных состояний. Поскольку и и с-духи имеют нулевые моды, вакуум духового поля Фаддеева-Попова совершенно отличается от обычного единственного вакуума для а Духовый вакуум (как мы видели в гл. 4) на самом деле вырожден и может иметь духовые числа, равные или 1/2, или — Определим два вакуума:

Таким образом, имеется два духовых вакуума. Зафиксируем духовое число поля равным — 1/2 и разложим это поле по этим двум

вакуумам:

Тогда выражение для действия (7.2.13) с учетом (7.3.1) примет вид

Если мы представляем

то вариации полей принимают вид

В общем случае написанные выше выражения допускают представление в компонентах. Всегда можно разложить полевой функционал по духовым модам:

Здесь индексы антисимметричны друг другу благодаря антикоммутационным соотношениям между духами. Это позволяет написать

где I I представляет произведение -антисимметризованных и М-антисимметризованных полей с и Это значит, что можно ввести «формы», определенные на антикоммутирующих переменных, тем же самым способом, каким дифференциальные формы вводятся через антикоммутирующие

Теперь мы имеем аппарат, необходимый для выполнения фиксации Калибровки. Выберем сначала ковариантную калибровку [9]:

Это уничтожает половину полей в что соответствует в (7.3.6). Далее вычисляем детерминант Фаддеева-Попова, возникающий из вариации Находим

где - 2-форма. Странная особенность этого духового действия заключается в том, что оно в свою очередь обладает своей собственной калибровочной инвариантностью:

Следовательно, духовое действие требует еще одного детерминанта Фаддеева-Попова (иначе функциональное интегрирование по духовы полям неограниченно). Следующий духовый член, обусловленный детерминантом Фаддеева-Попова для духового поля, есть

Но это действие опять имеет свою собственную калибровочную симметрию, которая вновь требует своего собственного калибровочного члена Фаддеева-Попова, и т.д. Ясно, что получается бесконечная башня «духов духов» [10, 12]. Это неизбежная ситуация, потому что каждый детерминант Фаддеева-Попова необходим для уничтожения расходимостей, производимых предшествующим рядом духовых полей.

К счастью, этот ряд возможно просуммировать. Если начать с действия (7.2.13), имеющего единственное духовое число — 1/2, и затем добавить к нему эту бесконечную башню духовых действий, то мы просто восстанавливаем действие (7.2.11), которое представляет сумму по всем возможным духовым числам. Следовательно, ( - это вариант (7.2.13) с фиксированной калибровкой. Другими словами, струнный функционал с духовым числом — 1/2 добавлением духов духов был преобразован в струнный функционал произвольного духового числа.

Подобным образом калибровочные степени свободы в (7.2.13) можно использовать для вывода теории в калибровке светового конуса [25]. Здесь, однако, имеется проблема, состоящая в необходимости явно обращаться к уравнениям движения определенных полей для уничтожения других.

Таким образом, только «массовая поверхность» позволяет перейти в рамках формализма BRST к теории в калибровке светового конуса. В этом состоит его ограниченность. Однако в геометрическом формализме мы имеем достаточную калибровочную симметрию для того, чтобы получить теорию в калибровке светового конуса вне массовой поверхности, устраняя лишние продольные моды в действии.

Чтобы перейти к калибровке светового конуса, заметим, что нежелательные состояния, которые должны быть устранены при фиксации калибровки, можно представить как произведение всех состояний вида

Номер уровня такого состояния дается суммой номеров уровней каждой совокупности состояний:

Можно убедиться, что эти нежелательные состояния устраняются посредством множества механизмов. Например, для наинизших состоян находим:

(а) Большая часть состояний с может быть устранена посредством равенства .

(б) Состояния с суть множители Лагранжа.

(в) Состояния, не включенные в (а) с устраняются этими множителями Лагранжа.

Этот механизм распространяется на все нежелательные состояния, вообще все эти нежелательные состояния могут быть устранены использованием калибровочной инвариантности теории или множителей Лагранжа. После этого устранения остаются только физические поперечные -состояния.

В итоге мы показали, что в действии (7.2.13) можно зафиксировать калибровку, чтобы воспроизвести или первоначальное действие BRST, или действие в формализме светового конуса из предыдущей главы. Также можно убедиться (устранением всех высших возбуждений в , что действие снова сводится к (7.1.10).