Глава 4. КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ И АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ

§ 4.1. КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Одна из загадок теории суперструн - возможность сформулировать ее двумя способами. Первый из них - модель NS-R (после GSO-проекции), содержащая антикоммутирующие векторы, а второй - модель Грина-Шварца (GS) с настоящими антикоммутирующими спинорами, У каждой формулировки есть свои специфические достоинства а недостатки. В настоящей главе мы обсудим конформную теорию поля, которая позволит нам увидеть динамическую связь между этими двумя формулировками. Конформная теория поля Фридэна и Шенкера [1] сочетает лучшие черты обеих теорий. Конформная теория поля позволяет сделать следующее.

(1) Ввести ковариантные антикоммутирующие спинорные поля, исходя только из свободных полей. GS-формализм, напротив, основан на сложных взаимодействующих полях, что делает ковариантное квантование слишком трудным.

(2) Построить явным образом ковариантные древесные диаграммы для многофермионного рассеяния. В (NS-R)-формализме сделать это практически невозможно из-за необходимости вводить сложные операторы проектирования для устранения духов. Конформная теория поля заменяет эти неуклюжие операторы проектирования свободными духами Фаддеева-Попова, с которыми легко работать.

(3) Переходить от GS-формулировки к (NS-R-формулировке и обратно и установить связь между ними. Это позволяет выражать результаты, полученные с помощью одной из них, в терминах другой:

(4) Построить ковариантные генераторы суперсимметрии. Это невозможно сделать в (NS-R-формулировке, а в GS-формулировке возможно лишь в калибровке светового конуса.

(5) Описать оба сектора теории, NS и R, с помощью одного и того вакуума вместо использования громоздкого формализма двух различных гильбертовых пространств, основанных на двух вакуумах, Это осуществляется с помощью процесса, называемого бозонизацией, т. е. построения фермионов из бозонов в двумерном пространстве.

Однако за возможность построения такой конформной теории поля некоторую небольшую цену придется заплатить. В этом формализме весьма быстро размножаются духи и антидухи, особенно для суперстркн и необходимо ввести странное явление, называемое «сменой картины» (см. (3.3.18), (3.3.19)). К счастью, эти духи и антидухи являются свободными полями и, следовательно, с ними легко работать. Кроме того, конформную теорию поля, по-видимому, нельзя вывести ни из какого действия, в отличие от формализмов GS и NS-R. Эта теория подчеркивает теоретико-групповое поведение полей вместо того, чтобы исходить из действия. Поэтому мы предполагаем, что существует еще не открытое первично квантованное действие более высокого порядка, выходящее за рамки действий GS и NS-R.

(Мы должны подчеркнуть, что конформная теория поля не является теорией поля в смысле вторичного квантования, т. е. мы начинаем с формализма Швингера, Томонаги и Фейнмана. Вторично квантованная полевая теория струн будет рассмотрена в части II настоящей книги.)

Сущность конформной теории поля состоит в том, что в ней подчеркивается использование одной лишь конформной инвариантности для вычисления корреляционных функций, связывающих различные поля [2-6]. Весьма примечательно, что конформная инвариантность сама по себе достаточна для почти полного определения структуры -точечных амплитуд рассеяния. Например, в (2.6.9) нам встречались операторы, имеющие следующие матричные элементы:

Здесь функция может быть степенью или логарифмом. Скажем, матричный элемент древесных амплитуд для двух бозонных струн есть

тогда как матричный элемент для двух нормальных упорядоченных вершин есть

До сих пор мы использовали для вычисления матричных элементов явные представления полей. Однако можно также обратить этот процесс. Если бы нам были полностью известны групповые свойства поля, смогли бы вычислить его матричные элементы и даже восстановить само поле.

Важнейшая идея, лежащая в основе конформной теории поля, - воспользоваться конформными свойствами поля для полного определения его матричных элементов и даже восстановления самого поля, конформной теории поля это достигается, если известно поведение на

малых расстояниях полей, движущихся налево и направо:

Итак, в принципе все возможные матричные элементы можно вычислить, исходя из конформных свойств самих полей.

В конформной теории поля мы, кроме того, строим спиновое поле которое при пространственно-временных преобразованиях Лоренца преобразуется как настоящий спинор с конформным весом 5/8. Однако сектор духов Фаддеева-Попова порождает еще одно поле с конформным весом 3/8. Именно произведение этих двух полей, одно из которых спиновое, а другое духовое, позволяет построить полный фермионный вертекс с правильным весом единица. Этот вершинный оператор, хотя он и включает экспоненты от полей, определяется целиком через свободные поля и поэтому решает проблему построения фермионной вершинной функции.

Фактически это спиновое поле вводится с помощью процесса, который называется «бозонизацией» [7, 8], т. е. создания фермиона из бозона. Легко, разумеется, создать бозон из двух фермионов. Однако в двумерии у нас имеется конкретная возможность построения фермионов из бозонов, которая одно время считалась неосуществимой. В действительности подсказка способа «бозонизации» уже приводилась в предыдущей главе, когда мы ввели вершинную функцию

В (2.6.22) было показано, что

Заметим, что, выбирая разные значения импульсов в показателе этой экспоненты, мы действительно можем построить операторы, удовлетворяющие соотношению

Другими словами, мы можем построить поле с фермионными коммутационными соотношениями из бозонных гармонических осцилляторов. Ключ к этому построению - нормальное упорядочение осцилляторных мод в двумерном пространстве. Данное свойство не переносится на четырехмерные теории поля. (Задним числом можно увидеть, почему фермионы и бозоны так тесно связаны в двумерном пространстве, но не в пространствах более высокой размерности. Для группы Лоренда которой есть только один генератор, понятие, называемое «спин», не имеет большого смысла для одного пространственного измерения.)

Этот метод бозонизации посредством нормального упорядочивания полей будет далее также ключом к построению конформной теорий

поля. Мы построим фермионное спиновое поле с помощью нормального упорядочивания показателей экспонент бозонных полей. Из этого спинового поля мы построим ковариантный оператор суперсимметрии. Преимущество такого подхода - то, что теперь мы можем обсуждать Пространственно-временные спиноры, используя один общий вакуум и для бозонов, и для фермионов, а также то, что все построение основано на свободных полях.

Прежде чем обсуждать суперконформный случай, начнем с анализа конформной теории поля. Сделаем наиболее общее конформное преобразование переменной мировой поверхности

Мы будем говорить, что первичная аналитическая функция преобразуется этим конформным преобразованием с конформным весом если она преобразуется по формуле

(Вторичные поля преобразуются как производные от Этот конформный вес представляет собой то же понятие, которое мы ввели ранее в выражении (2.7.6) при обсуждении конформных свойств вершин. Теперь мы видим, что математически конформный вес есть индекс, нумерующий неприводимые представления конформной группы, порожденной алгеброй Вирасоро.

Теперь мы можем построить объекты, инвариантные относительно конформного преобразования:

Раз мы уже определили, как поля преобразуются под действием конформного преобразования, мы должны затем проверить, что две такие конформные операции дают замыкание группы. Пусть мы сделали Два последовательных конформных преобразования:

Тогда поле преобразуется по формулам

Итак, конформные преобразования образуют группу с законом композиции следующего вида:

Замыкание алгебры легче всего увидеть, взяв инфинитезимальное конформное преобразование. Рассмотрим бесконечно малую вариации координаты:

Под действием преобразования (4.1.7) мы получим инфинитезимальное преобразование

(Мы для краткости будем обозначать через ) Взяв коммутатор двух таких вериаций, получим

где

(Сравните это соотношение с (2.1.30).)

Мы снова показали, что группа замыкается при произвольном весе Чтобы лучше понять смысл конформного веса вычислим конформный вес струны. При бесконечно малой вариации координаты мы применим цепное правило с целью показать, что струна преобразуется по формуле

Итак, поле струны имеет вес . Аналогично, легко показать, что производная поля струны имеет вес 1:

Приведем сводку весов некоторых часто встречающихся струнных полей:

В частности, это означает, что тензор энергии-импульса или генераторы алгебры Вирасоро имеют вес 2.

Веса аддитивны. Произведение полей, одно из которых имеет вес а другое вес дает поле с весом в той же точке:

Обратите внимание на важный факт, который будет использоваться неоднократно в этой книге: интеграл от объекта с весом 1 является

инвариантным, т. e.

Этот факт будет использован при построении вершинных операторов, а также действия вторично квантованной теории.

Теперь подробно изучим, как тензор энергии-импульса действует на основные поля теории.

Если действие выражено через переменную т. е.

то тензор энергии-импульса (1.9.17), связанный с этим действием, есть

Преобразование полей под действием конформных преобразований порождается проинтегрированным тензором энергии-импульса, параметризованным малой функцией

Здесь мы берем интеграл по контуру, окружающему начало координат в комплексной плоскости переменной Важность тензора энергии-импульса Т связана с тем, что он служит генератором изучаемых нами конформных преобразований. Чтобы в этом убедиться, запишем

Заметим, что контур окружает и начало координат, и точку тогда контур окружает только точку поскольку

(см. рис. 4.1). Заметим также, что мы приняли радиальное упорядочение

Рис. 4.1. Контуры интегрирования в конформной теории поля. На верхнем рисунке точка расположена между двумя концентрическими окружностями. На нижнем рисунке направление обхода внутреннего контура было обращено, и он слит с внешним контуром, в результате чего получен замкнутый контур. Точка лежит внутри этого контура, но начало координат - снаружи от него.

Р операторов в комплексной плоскости, при котором операторы упорядочены в соответствии с их расстоянием от начала координат:

На последнем шаге мы опустили радиальное упорядочение, поскольку радиально упорядоченные произведения аналитичны.

Из предыдущего нам также известно, что

Сравнивая два выражения для и (4.1.28), мы можем теперь увидеть поведение поля на коротких расстояниях:

Поскольку сам тензор энергии-импульса имеет конформный вес 2, мы можем также подставить его в уравнение для поведения поля на коротких расстояниях. Тем самым мы вывели поведение на коротких

расстояниях самих генераторов:

Второй член правой части этого уравнения показывает, что сами генераторы преобразуются как конформные поля с весом 2.

Теперь введем нормальные моды и установим связь с формализмом гармонических осцилляторов. Всегда возможно разложить произвольное поле с весом А следующим образом:

Это позволяет разложить тензор энергии-импульса по нормальным модам. Запишем

Будет поучительно действительно вывести шаг за шагом алгебру Вирасоро из этих абстрактных выражений, чтобы увидеть эквивалентность коммутаторов и разложений в операторные произведения. Используя (4.1.30) и (4.1.32), находим

Это в конце концов сводится к обычной алгебре Вирасоро:

Подставляя выражение для в контурный интерграл, мы получим также

(Это можно также вывести из (4.1.28).)

Мы показали, что это описание эквивалентно обычному описанию с помощью коммутаторов, которым мы пользовались в предыдуццц главах. Действительно, последнее уравнение есть не что иное, как (2.7.6)} которое применялось при вычислении конформного веса вершинной функции.

Этим способом можно выразить не только обычные конформные коммутаторы; на этом эквивалентном языке можно также описать вклад духов Фаддеева-Попова в конформную калибровку. Духи Фаддеева-Попова дадут нам другое представление алгебры Вирасоро, основанное на духовых полях и с, а не на струнной переменной X. Если переписать (2.4.1), получим

Эти ограничения в свою очередь позволят нам вычислить изменение функциональной меры. Простое вычисление якобиана этого преобразования дает

Чтобы ввести определитель под знак экспоненты в действие, введем два духовых поля, . Тогда духовое действие (2.4.4) можно записать в виде

(Заметим, что духовое действие записано здесь таким образом, что тензорная природа полей проявляется при действии конформной группы. Тем самым инвариантность действия относительно конформной группы становится очевидной. Итак, поле - тензор второго ранга, а -тензор первого ранга.)

Располагая этим действием, мы можем построить тензор энергии-импульса, ему соответствующий:

Указанные духовые поля имеют следующий матричный элемент:

Если теперь тщательно вычислить поведение этих полей на коротких расстояниях, мы получим

Обратите внимание на множитель —13 в вычисленной аномалии духового тензора энергии-импульса. Если взять сумму этих двух тензоров энергии-импульса, (4.1.23) и (4.1.38), то окажется, что полученный комбинированный тензор свободен от аномалии в 26-мерном лространстве:

Заметим, что сумма двух тензоров энергии-импульса имеет нулевой главный член только в 26-мерном пространстве. Это фактически фиксирует размерность пространства-времени: она должна быть равной 26. Итак, бозонное представление тензора энергии-импульса через струнные поля X дает множитель для аномального члена, тогда как духовое представление для Т дает множитель —26. Сумма этих двух тензоров есть истинный тензор энергии-импульса, имеющий нулевой главный член лишь при

Всякий раз, когда мы имеем дело с какой-нибудь группой Ли, первое, что мы должны выяснить, - это каковы ее представления. Скажем теперь несколько слов о представлениях алгебры Вирасоро.

Для групп или например, мы знаем, что представления можно образовать, используя хорошо известные «лестничные операторы» для построения триплетов, октетов и более высоких представлений. Для алгебры Ли общего вида можно построить представления, взяв все возможные произведения «повышающих операторов», действующие на вакуум с «наивысшим весом». Множество всех таких состояний, создаваемых повышающими операторами, называется «универсальной огибающей алгеброй». Тот же самый процесс применим к алгебре Вирасоро, если рассматривать как лестницу повышающих операторов.

Определим вектор с наивысшим весом следующим образом:

Заметим, что любое физическое состояние является вектором с наивысшим весом, поскольку оно удовлетворяет условию Отметим также, что вакуумное состояние тоже является вектором с наивысшим весом, а состояние этим свойством не обладает.

Теперь определим набор состояний, порождаемых всеми

повышающими операторами действующими на вектор с наивысшим весом

Набор всех таких состояний называется модулем Верма. Если рассматривается как физическое состояние, то модуль Верма, соответствующий ему, есть набор всех шпурионных состояний, которые можно получить из этого физического состояния.

Заметим, что любое конформное преобразование просто переводит это состояние в какой-то другой элемент модуля Верма:

где

Это происходит потому, что генератор Вирасоро, действуя на элемент модуля Верма, создает другое состояние, принадлежащее тому же модулю Верма. Тем самым модуль Верма образует представление конформной группы.

Кроме вектора с наивысшим весом определим также вакуум, инвариантный относительно группы который мы ввели ранее:

Связь между этими двумя разными вакуумами дается соотношением

где есть первичное поле с весом . Это соотношение легко проверить, подействовав на его левую и правую части генераторами алгебры Вирасоро.