§ 11.8. ОРБИОБРАЗИЯ

Хотя в методе компактификации на пространства Калаби-Яу есть еще нерешенные проблемы, он является в принципе достаточно сильным, чтобы дать качественное объяснение механизма нарушения калибровочной группы до калибровочной группы минимальной теории.

На практике, однако, многообразия Калаби-Яу построить достаточно сложно, и только несколько таких многообразий известно в настоящее время. Для дальнейшего использования мы хотели бы иметь более простые решения с плоским пространством. К сожалению,

простейшая тороидальная компактификация феноменологически неприемлема хотя бы по той причине, что после нарушения симметрии выживает (N = 4)-суперсимметрия. Если мы стартуем с (N = 1)-суперсимметрии в 10 измерениях и компактифицируем к 4 измерениям, то получаем в результате (N = 4)-суперсимметрию. (Если мы стартуем с (N = 1)-суперсимметрии в десяти измерениях, шестнадцать генераторов суперсимметрии становятся после компактификации генераторами где Р-спинорный индекс в четырех пространственно-временных измерениях, пробегает от 1 до 4. Таким образом, компактификация суперсимметричной теории к меньшему числу измерений всегда приводит к дополнительной -симметрии.)

Однако, налагая более жесткие ограничения на тороидальную компактификацию, можно редуцировать -суперсимметрию к -суперсимметрии. Диксон, Харви, Вафа и Виттен предложили компактификацию на орбиобразие [8, 9], получаемое факторизацией выбранного многообразия по дискретной группе, имеющей неподвижные точки (т. е. точки, инвариантные относительно преобразований этой группы). Орбиобразие из-за сингулярностей в неподвижных точках не является многообразием, но струны могут беспрепятственно распространяться на орбиобразиях. Преимущество орбиобразий заключается в том, что они являются плоскими, при их использовании можно нарушить -су-персимметрию, получить киральные фермионы, и к тому же их легко построить.

Простейшим орбиобразием является конус. Возьмем комплексную плоскость и сделаем отождествление

для некоторого целого числа Это разделяет комплексную плоскость на эквивалентных треугольных секторов. Заметим, что это отождествление факторизует плоскость по дискретной группе симметрии

Заметим, что начало координат является неподвижной точкой этого преобразования, т. е. начало координат отображается в себя при таком вращении. Если мы теперь разрежем комплексную плоскость и извлечем только один из этих треугольных секторов, а потом свернем этот сектор в соответствии с указанным выше отождествлением, то получим конус. Таким образом, конус, или орбиобразие, является не чем иным, как двумерным пространством факторизованным по действию дискретной группы:

Начало координат, являющееся неподвижной точкой, становится теперь потенциальной сингулярностью. Следовательно, конус не является многообразием. Если мы обходим по пути вокруг вершины конуса, полный угол, который мы проходим, будет не 360°, а 360°, деленное на

Рассмотрим другой простой пример. Возьмем двумерный тор, заданный следующими отождествлениями:

Это делит комплексную плоскость на бесконечное число квадратов ширины 1 с отождествленными противоположными сторонами. Построим из этого двумерного тора орбиобразие факторизацией по группе генерируемой отображением

Если теперь ввести поверхность

то мы получим орбиобразие. Заметим, что это отображение оставляет неподвижными следующие четыре точки:

Три из этих неподвижных точек лежат на сторонах единичного квадрата, а одна из них - внутри квадрата.

Как выглядит это орбиобразие? При действии отображения Р точки внутри квадрата отождествляются так, что единичный квадрат разделяется на меньшие квадраты ширины 1/2. Представим два маленьких квадрата ширины 1/2 каждый. Разместим их друг над другом и соединим вершины одного квадрата с вершинами другого. После этого сошьем расположенные друг над другом стороны этих квадратов, получая замкнутую поверхность. Топологически она эквивалентна поверхности квадратного мешка для бобов.

Отметим, что эта поверхность имеет четыре сингулярные точки, соответствующие четырем вершинам квадрата. При обходе вокруг каждой из этих неподвижных точек угловой дефицит составит 180°.

Можно, однако, превратить это орбиобразие обратно в нормальное многообразие и, следовательно, вычислить его эйлерову характеристику. Вырежем каждую из четырех неподвижных точек на факторизуем по а потом пришьем обратно небольшие кусочки к каждой из этих точек. Это называется «раздутием» сингулярности. В этом случае, вырезая такие дырки, сшивая квадраты в орбиобразие и пришивая обратно на место четыре кусочка, мы получаем многообразие, топологически эквивалентное сфере.

Эйлерова характеристика диска равна 1, а эйлерова характеристика Двумерного тора равна 0. Следовательно, эйлерова характеристика тора с вырезанными четырьмя неподвижными точками равна

Если мы факторизуем по действию группы то эйлерова характеристика полученной поверхности равна

Наконец, приклеивая четыре диска обратно к поверхности, мы должны прибавить к эйлеровой характеристике число 4:

Это согласуется с нашей интуицией, потому что полученное многообразие эквивалентно двумерной сфере имеющей эйлерову характеристику 2.

Теперь мы хотели бы обобщить предыдущий пример, переходя к более сложной компактифицированной поверхности размерности шесть. Компактифицируем сначала комплексную плоскость с помощью следующих отождествлений:

Первое отождествление делит комплексную плоскость на бесконечное число узких вертикальных полосок. В результате отождествлений (11.8.10) комплексная плоскость становится разделенной на бесконечное число равносторонних треугольников. «Фундаментальная область» Т этого пространства состоит из двух таких треугольников, имеющих общую сторону.

В силу того что это пространство состоит из бесконечного числа равносторонних треугольников, оно инвариантно относительно вращения на 120 градусов:

Следовательно, это пространство имеет -симметрично. При вращении на 120 градусов в нем существует три неподвижные точки:

Отметим, что фундаментальная область Т, состоящая из двух равносторонних треугольников, содержит три неподвижных точки: одна из них расположена в начале координат, а две других - внутри каждого из двух равносторонних треугольников.

Выполним теперь в пространстве Т факторизацию по группе и получим орбиобразие:

И опять не является многообразием, поскольку три неподвижные точки (две из которых лежат внутри области Т) потенциально сингулярны.

Для обобщения на шестимерный случай можно рассмотреть просто Прямое произведение трех таких комплексных пространств

неподвижными точками.

Это пространство имеет то преимущество, что при компактификации на него -суперсимметрия в измерениях может быть нарушена до -суперсимметрии в 4-х измерениях. Если мы компактифицируем на пространство

то получим, что группа нарушается следующим образом:

Так как можно показать, что генератор -суперсимметрии расщепляется на четыре спинора, преобразующихся по фундаментальному представлению 4 группы Если мы компактифицируем на тор то группа не нарушается и выживают все четыре генератора суперсимметрии в четырех измерениях, преобразующиеся по представлению 4 группы Однако, если мы начинаем с орбиобразия, полученного факторизацией по группе мы можем вложить в подгруппу группы При этом факторизация по обязательно нарушает -симметрию, так как группа не имеет трехмерных представлений. Но только одна из четырех компонент вектора 4 фундаментального представления сохраняется при факторизации по , следовательно, выживает, как и хотелось, только -суперсимметрия.

Итак, орбиобразия могут быть использованы для нарушения полной симметрии теории, так как выживают только симметрии, коммутирующие с дискретной группой. Этот метод может быть использован для нарушения калибровочной группы.

Пусть - такой элемент 10-мерной калибровочной группы, что

Для некоторого целого . Теперь мы требуем, чтобы состояния теории коммутировали с комбинированным действием

Таким образом, мы имеем механизм одновременного нарушения как калибровочной группы, так и суперсимметрии.

В качестве примера можно взять элемент группы , такой, что Следовательно, требование инвариантности состояний теории относительно действия двух групп приводит к нарушению

группы

Вычислим теперь эйлерову характеристику этой поверхности и следовательно, число поколений. Мы опять должны вырезать 27 неподвижных точек из Т, факторизовать по и пришить обратно 27 кусочков.

Эйлерова характеристика поверхности Т равна нулю, так что многообразие Т без 27 дисков, центры которых расположены в неподвижных точках, имеет эйлерову характеристику

Если факторизовать Т по то эйлерова характеристика станет равной — 9. Теперь мы должны пришить обратно 27 дисков В то же время каждый такой диск имеет в качестве группы голономии и эйлерову характеристику, равную 3, так что полная эйлерова характеристика равна

Следовательно, мы имеем 36 поколений фермионов.

Предыдущий пример был просто модельным примером в шести измерениях. Можно, однако, построить модели орбиобразий, имеющих много меньшее число поколений, например два или четыре.