§ 9.3. АНОМАЛИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ФОРМАЛИЗМЕ
До сих пор наше описание аномалий было фрагментарным. Однако нам хотелось бы иметь систематический метод, позволяющий вычислять все такие полные производные для произвольной калибровочной группы и произвольной размерности.
Начнем с функционального интеграла для взаимодействия фермионов с внешними векторными или гравитационными частицами:
Здесь ковариантная производная описывает взаимодействие фермионов с внешними янг-миллсовским и гравитационным полями:
Здесь 
гамма-матрицы в 
измерениях, умноженные на реперное (тетрадное) поле, а 
- генераторы группы Лоренца 
Заметим, что функциональный интеграл квадратичен по фермионным полям, поэтому этот интеграл является гауссовым. Используя изложенные в приложении результаты об интегрировании по грассмановым переменным, мы можем выполнить интегрирование и получить детерминант. Теперь можно внести логарифм от детерминанта под знак экспоненты и получить 
, зависящее от калибровочных полей явным образом. Взяв гауссов интеграл (9.3.1), мы получаем следующий детерминант:
Здесь 
янг-миллсовское и гравитационное поля. Используем теперь соотношение
(Оно наиболее легко доказывается при помощи преобразования подобия, диагонализирующего матрицу М. При этом М становится диагональной матрицей с собственными значениями на диагонали. После этого доказательство тождества становится тривиальным. И наконей» выполняя обратное преобразование подобия, мы восстанавливав матрицу М.) Таким образом, можно взять 
от (9.3.3):
Вычислим теперь калибровочную вариацию этого функционала. После калибровочного преобразования
и после разложения в ряд Тейлора по 8 мы находим, что функционал преобразуется так:
В последнем выражениии для 
мы воспользовались тем, что генерируемый калибровочным преобразованием ток определяется так:
Появляющееся в 
можно переписать на функциональном языке:
Тогда
Значит, несохранение аксиального тока означает отличие 
от нуля.
Аномалия должна также удовлетворять условию самосогласованности, т.е. условию Весса-Зумино [9]. Заметим, что генератор калибровочного преобразования равен
После этого мы получаем новый способ записи 
Но также известно, что генераторы локальных калибровочных преобразований образуют замкнутую алгебру:
Это означает, что 
должны удовлетворять уравнению связи 
Если записать 
как вариацию 
то очевидно, что условие согласованности Весса-Зумино удовлетворяется. Но если мы запишем
аномальный член в терминах тензоров кривизны, то выполнение условия самосогласованности становится весьма нетривиальным. Это обстоятельство может сильно затруднить наши вычисления.
Теперь, когда мы имеем функциональный формализм для рассмотрения аномалий, начнем обсуждение с лежащей в его основе математики. В частности, мы покажем, что аномалия может быть записана в терминах обобщенных характеристических классов, которые были изучены математиками. Затем мы продемонстрируем наиболее элегантную часть теории, а именно, что интегралы от этих характеристических классов приводят к различным теоремам об индексе. Итак наша стратегия такова:
