§ 3.3. ДЕРЕВЬЯ

Снова нашей исходной точкой при построении теории взаимодействующих струн будет функциональный интеграл. К сожалению, нам нечем руководствоваться при построении такой теории, кроме интуиции. Наудачу попробуем умножить обычный вертекс на фактор в точке, в которой частица со спином нуль входит в диаграмму. Тогда резонно предположить, что -точечная амплитуда рассеяния для этой скалярной частицы является обобщением формулы (2.5.2) и выражается в виде

где

Здесь проводится функциональное интегрирование по бесконечной последовательности грассмановых переменных (см. Приложение).

Как и для бозонного функционального интеграла, мы можем устранить функциональные интегралы во всех промежуточных точках на струнной поверхности, поскольку в этом пространстве гамильтониан Диагоналей. Так, используя

в каждой промежуточной точке, можно устранить все функциональные интегралы и оставить только гармонические осцилляторы. Итак, снова Функциональное интегрирование позволяет вывести формализм гармонических осцилляторов, который мы рассматриваем лишь как одно из возможных представлений функционального интеграла.

Выраженный через осцилляторы, вертекс для испускания скалярной Частицы с импульсом принимает вид

Выбор этой формы мотивируется правилом, согласно которому

конформный вес вертексных функций должен быть равен 1, чтобы выполнялись условия уничтожения духов (2.9.5). Из (3.2.27) и (3.2.28) можно вычислить коммутатор и обнаружить, что он равен 1/2. Поскольку имеет конформный вес имеет вес 1/2, то вес V есть сумма этих двух весов:

Здесь Эта вертексная функция, соответствующая испусканию или поглощению тахиона, заведомо удовлетворяет правильным условиям уничтожения духов.

Пропагатор вычисляется просто. Заметим, что гамильтониан диагонален в пространстве гармонических осцилляторов. Поэтому мы будем использовать явное представление функционала, основанное на нормальных модах гармонического осциллятора. Тогда

Построим -точечную функцию для тахионов:

Здесь мы разместили тахионные состояния слева и справа от всех вершин и пропагаторов. В этом формализме циклическую симметрию можно доказать тем же способом, что и для бозонной струны. Сначала заметим, что

Это позволяет одинаковым способом рассматривать все внешние тахионы. Перенося налево последний вертекс, можно показать, совершенно аналогично бозонному случаю, изученному в (2.6.24), что эта амплитуда циклически симметрична.

Здесь, однако, возникает одно затруднение. Только что построенное тахионное состояние соответствует это выражение удовлетворяет

Это, однако, означает, что вакуумное состояние имеет еще меньшую массу, поскольку оно удовлетворяет следующему условию:

Мы столкнулись, тем самым, с необычной проблемой: истинный вакуум

теории (3.3.10) не соответствует тахиону (3.3.9). Другими словами, гильбертово пространство, по-видимому, слишком обширно, истинный вакуум не является необходимым состоянием. У нас, кажется, оказалось два самых низких состояния.

Решение этой головоломки вытекает из того факта, что вакуумное состояние действительно излишне и его можно из теории устранить. Это Достигается переопределением гильбертова пространства теории.

формализм, в котором мы до сих пор работали, называется он неуклюж. Вакуум теории не равен тахиону, и поэтому фоковское пространство на самом деле обширнее, чем требуется. Хотя циклическая симметрия легко доказывается в этом формализме, мы предпочитаем ввести другой, более удобный. Он называется и использует редуцированное фоковское пространство, полученное удалением вакуумного состояния с

Чтобы к нему перейти, перепишем тахионное состояние в виде

Теперь перепишем -точечную амплитуду рассеяния тахиона (3.3.7) с помощью (3.3.12):

Приступим к решающему шагу. Протолкнем направо, последовательно продвигая его через различные вершины и пропагаторы. Нам потребуются формулы

Важно заметить, что при проталкивании направо изменился интерсепт пропагатора, т. е.

тогда как все другие члены, содержащие разные обращаются в нуль, аналогично бозонному случаю. Наконец, мы протолкнем вправо до конца, где это выражение обратится в нуль на тахионном состоянии:

Итак, собрав все вместе, мы, наконец, получаем

Удивительно, но теперь исходная амплитуда оказалась полностью переписанной таким образом, что набор собственных (резонансных) состояний подвергся сдвигу. В частности, старое вакуумное состояние в формализме при исчезло из гильбертова пространства. Оно не взаимодействует ни с чем в новом формализме, который мы назовем Вместо него у нас есть тахионное состояние, представленное которое теперь удовлетворяет новому условию

Это весьма примечательно. Состояние которое раньше представляло вакуумное состояние при теперь неожиданно превратилось в тахионное состояние при Таким образом, в формализме тахионное состояние и новое вакуумное состояние являются одной и той же частицей. (Следует помнить, что один и тот же символ может представлять либо старый вакуум в формализме либо тахион в новом формализме

Этот сдвиг гильбертова пространства является новой чертой, которой не было у теорий поля для точечных частиц. На самом деле при обсуждении конформной теории поля в следующей главе мы обнаружим, что это странное явление «смены картины» возникает всякий раз, когда мы строим неприводимые представления суперконформной группы. Следовательно, это не трюк, а существенное свойство данной группы. (Мы должны также отметить, что когда мы обеспечим пространственно-временную суперсимметрию модели, мы устраним также тахионное состояние. Тем самым тахион исключается из подлинно суперструнного гильбертова пространства, что делает теорию унитарной.)

Подытожим различия между этими двумя формализмами:

Преимущества и недостатки этих двух формализмов сводятся к следующему.

(1) В формализме явную циклическую симметрию намного легче доказать. Однако все вычисления усложняются необходимостью учитывать ненужное вакуумное состояние, которое ни с чем не взаимодействует.

(2) В формализме циклическая симметрия является скрытой, но устранение духов и калибровочные преобразования проводить легко.

Преимущество состоит в том, что теперь мы работаем в фоковском пространстве меньшего объема.

Используя формализм нетрудно вычислить четырехточечную функцию в явном виде:

Здесь

Возможно также непосредственное обобщение до -точечной функции. Последняя представима в виде

В общем случае это выражение содержит большое число множителей, которые вычислять утомительно. Простой способ получить весь результат целиком - использовать соотношение

Заметим, что если разложить экспоненту в степенной ряд, то ненулевой вклад в интеграл даст лишь линейный член, и мы получим предыдущее выражение для вертексной функции. Пока что ничего нового мы не получили. Теперь воспользуемся следующими двумя тождествами:

Нетрудно обобщить последнее соотношение, выписав -точечную амплитуду тахиона:

Преимущество этого выражения в том, что мы можем теперь находить Различные члены, входящие в эту формулу, последовательно разлагая их в степенной ряд и интегрируя по грассмановым переменным.

Кроме амплитуд рассеяния тахионов на тахионах, мы можем также вычислить рассеяние безмассовых векторных частиц (соответствующих Частицам Максвелла и Янга-Миллса). Выбор вертексной функции для езмассовой векторной частицы ограничен тем фактом, что она должна

обладать конформным весом 1 и правильным спином. Естественный выбор этой функции дается выражением

где вектор поляризации векторной частицы, Конформный вес этого вертекса равен сумме конформных весов индивидуальных множителей, его образующих. Поскольку имеет конформный вес 1/2, а имеет конформный вес то отсюда следует, что конформный вес этого вертекса дается выражением

имеющим желаемый вес. Этот вертекс заведомо удовлетворяет условиям уничтожения духов, налагаемым на и Нетрудно вычислить -точечную амплитуду рассеяния для этой безмассовой калибровочной частицы с помощью того же формализма, который был развит для тахиона. Например, амплитуда рассеяния для четырех безмассовых калибровочных частиц дается выражением

где кинематический фактор К имеет вид

здесь

(Рассеяние с участием фермионов также можно вычислить; оно тоже будет иметь приведенную выше базовую форму, но кинематический фактор будет зависеть от внешних спиноров.)

Необходимо добавить к этому, что еще одно преимущество использования формализма состоит в том, что можно непосредственно показать инвариантность амплитуды относительно преобразования

Оно порождает группу (см. Приложение), являющуюся

суперсимметричным обобщением проективной группы Эта группа порождается алгеброй, образуемой набором

Пусть есть элемент группы Тогда доказательство суперпроективной инвариантности дается следующим замечанием:

(Заметим, что, как и в бозонном случае, вакуумное состояние не является физическим. Поэтому элемент который, вообще говоря, не уничтожает физические состояния, может уничтожить вакуумное состояние.) Вертекс при этом поворачивается согласно

где вертексная функция до интегрирования по 0.

Теперь, после того как мы выяснили свойства трехбозонной вертексной функции в формализме Невё-Шварца, мы можем также вычислить взаимодействие фермион-фермион-бозон (с внешней бозонной линией) для модели Рамона. Выберем

где

Здесь - произведение матриц Дирака. Кроме этой вертексной функции, нам также нужен пропагатор

где дается формулой (3.2.20). Мы положили интерсепт равным нулю (что, как мы увидим, правильный выбор, если мы хотим обеспечить конформную инвариантность; на этой ранней стадии, однако, мы пока не можем обосновать выбор нулевого интерсепта).

Наконец, вакуумное состояние является теперь фермионом со спином 1/2 и дается формулой

где мы суммируем по спинорным индексам а спинора иа. Амплитуда рассеяния фермиона, взаимодействующего с несколькими бозонами, определяется теперь выражением

Пока что мы лишь продемонстрировали амплитуды с двумя внешними фермионными линиями. Как ни странно, все наши первые взятые наугад и основанные на простой интуиции допущения оказались успешными. Поскольку действие в конформной калибровке совпадает с

действием свободной теории, модель NS-R весьма проста. За эту простоту, однако, приходится платить.

В принципе, поскольку струнную модель можно факторизовать в любом канале, должно быть возможно факторизовать R-модель в мезонном канале и заново вывести из нее NS-модель или получить многофермионную вертексную функцию. На самом деле это весьма трудно сделать. В частности, фермионная вертексная функция (с внещней фермионной линией, связанной с внутренними фермионной и бозонной линиями) - это объект, с которым слишком сложно работать. Это в свою очередь затрудняет вычисление многофермионных амплитуд в формализме NS-R.

Хотя можно показать, что R-модель можно факторизовать в разных каналах, чтобы вывести NS-модель, но формализм NS-R в действительности весьма неудобен для вычисления многофермионных амплитуд. В следующей главе мы увидим, что методы конформной теории поля делают ковариантное вычисление многофермионных амплитуд возможным.