§ 1.8. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ

Один пример проиллюстрирует взаимоотношения между первичным и вторичным квантованием - задача о гармоническом осцилляторе. Этот пример окажется полезным при введении представления посредством гармонических осцилляторов, которое будет широко использоваться в струнной модели. Начнем с точечной частицы, описываемой следующим гамильтонианом:

Здесь - упругая постоянная. Поскольку импульсы и координаты являются сопряженными переменными, мы можем при помощи тех же рассуждений, которые были изложены ранее при обсуждении континуального интеграла, положить

Теперь мы можем переопределить координаты и импульсы, выразив их

через гармонические осцилляторы:

Здесь

Чтобы удовлетворялось каноническое коммутационное соотношение (1.8.2), должно выполняться

Подставляя это выражение в гамильтониан, находим

Выделяя член с с-числом, можно записать это выражение в нормально упорядоченном виде

где энергия нулевой точки. Теперь можно ввести гильбертово пространство гармонических осцилляторов. Определим вакуум выражением

Тогда элемент фоковского пространства для гамильтониана гармонического осциллятора дается выражением

и состояния образуют ортонормированный базис:

Энергия системы квантована и дается выражением

Пока что система была представлена лишь в формализме первичного квантования. Мы квантовали каждый раз только одну точечную частицу. Теперь мы хотим перейти к волновой функции вторичного квантования, введя

где выполнено разложение в степенной ряд по основным состояниям гармонического осциллятора. Так, вместо описания одиночного возбужденного состояния точечной частицы мы вводим теперь волновую функцию, которая будет суперпозицией произвольного числа возбужденных состояний.

Дадим важное определение

Это выражение можно вычислить в явном виде. Заметим, что теперь у нас есть два независимых набора основных состояний, а именно основные состояния гармонического осциллятора и собственные векторы положения Теперь нужно вычислить способ перехода от одного из этих базисов к другому и обратно.

Для начала исследуем простейший матричный элемент:

Этот матричный элемент удовлетворяет уравнению

Последнее из этих уравнений можно решить точно:

где

Теперь можно непосредственно вычислить все такие матричные элементы. Пусть

Поэтому решением служит

В общем случае эта формула выражает не что иное, как многочлены Эрмита С их помощью можно выразить друг через друга собственные состояния и базисные векторы

Итак, используя (1.8.12) и (1.8.20), мы получаем степенное разложение волновой функции по полному набору ортогональных многочленов, а именно по многочленам Эрмита:

Подобным образом нетрудно вычислить функцию Грина для распространения точечной частицы в поле потенциала гармонического осциллятора. Функция Грина была бы той же, если бы мы начали в рамках формализма вторичного квантования с действием

Из этого вторично квантованного действия мы можем поэтому получить уравнения движения:

Отсюда можно определить канонические импульсы, сопряженные такие, что удовлетворяются канонические квантовые соотношения